Theorem ord3ex 4242

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	⊢ {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3646	. 2 ⊢ {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}})
2		pp0ex 4241	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}} ∈ V
3	2	pwex 4235	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅, {∅}} ∈ V
4		pwprss 3852	. . . 4 ⊢ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ⊆ 𝒫 {∅, {∅}}
5	3, 4	ssexi 4190	. . 3 ⊢ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ∈ V
6		snsspr2 3788	. . . 4 ⊢ {{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}}
7		unss2 3348	. . . 4 ⊢ ({{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}} → ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}})
9	5, 8	ssexi 4190	. 2 ⊢ ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2279	1 ⊢ {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∪ cun 3168   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  𝒫 cpw 3621  {csn 3638  {cpr 3639  {ctp 3640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646

This theorem is referenced by: (None)