ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ord3ex GIF version

Theorem ord3ex 4016
Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union. (Contributed by NM, 2-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
ord3ex {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V

Proof of Theorem ord3ex
StepHypRef Expression
1 df-tp 3449 . 2 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}})
2 pp0ex 4015 . . . . 5 {∅, {∅}} ∈ V
32pwex 4009 . . . 4 𝒫 {∅, {∅}} ∈ V
4 pwprss 3644 . . . 4 ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ⊆ 𝒫 {∅, {∅}}
53, 4ssexi 3969 . . 3 ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}) ∈ V
6 snsspr2 3581 . . . 4 {{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}}
7 unss2 3169 . . . 4 ({{∅, {∅}}} ⊆ {{{∅}}, {∅, {∅}}} → ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}}))
86, 7ax-mp 7 . . 3 ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ⊆ ({∅, {∅}} ∪ {{{∅}}, {∅, {∅}}})
95, 8ssexi 3969 . 2 ({∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}}) ∈ V
101, 9eqeltri 2160 1 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  wss 2997  c0 3284  𝒫 cpw 3425  {csn 3441  {cpr 3442  {ctp 3443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-tp 3449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator