Theorem ordsucg 4495

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	|- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4493	. 2 |- ( Ord A -> Ord suc A )
2		sucidg 4410	. . 3 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
3		ordelord 4375	. . . 4 |- ( ( Ord suc A /\ A e. suc A ) -> Ord A )
4	3	ex 115	. . 3 |- ( Ord suc A -> ( A e. suc A -> Ord A ) )
5	2, 4	syl5com 29	. 2 |- ( A e. _V -> ( Ord suc A -> Ord A ) )
6	1, 5	impbid2 143	1 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   Ord word 4356   suc csuc 4359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-sn 3595  df-uni 3806  df-tr 4097  df-iord 4360  df-suc 4365

This theorem is referenced by:  sucelon  4496