Theorem ordsucg 4486

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	|- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4484	. 2 |- ( Ord A -> Ord suc A )
2		sucidg 4401	. . 3 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
3		ordelord 4366	. . . 4 |- ( ( Ord suc A /\ A e. suc A ) -> Ord A )
4	3	ex 114	. . 3 |- ( Ord suc A -> ( A e. suc A -> Ord A ) )
5	2, 4	syl5com 29	. 2 |- ( A e. _V -> ( Ord suc A -> Ord A ) )
6	1, 5	impbid2 142	1 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   Ord word 4347   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  sucelon  4487