Theorem ordsucg 4332

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	|- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4330	. 2 |- ( Ord A -> Ord suc A )
2		sucidg 4252	. . 3 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
3		ordelord 4217	. . . 4 |- ( ( Ord suc A /\ A e. suc A ) -> Ord A )
4	3	ex 114	. . 3 |- ( Ord suc A -> ( A e. suc A -> Ord A ) )
5	2, 4	syl5com 29	. 2 |- ( A e. _V -> ( Ord suc A -> Ord A ) )
6	1, 5	impbid2 142	1 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   Ord word 4198   suc csuc 4201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-uni 3660  df-tr 3943  df-iord 4202  df-suc 4207

This theorem is referenced by:  sucelon  4333