Theorem ordsucg 4515

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4513	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 4430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 4395	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6	1, 5	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2159  Vcvv 2751  Ord word 4376  suc csuc 4379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-sn 3612  df-uni 3824  df-tr 4116  df-iord 4380  df-suc 4385

This theorem is referenced by:  onsucb  4516