Theorem ordsucg 4460

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4458	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 4376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 4341	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 114	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6	1, 5	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712  Ord word 4322  suc csuc 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-suc 4331

This theorem is referenced by:  sucelon  4461