Theorem ordsucg 4593

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucg	⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Proof of Theorem ordsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucim 4591	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 4506	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 4471	. . . 4 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 115	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6	1, 5	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  Ord word 4452  suc csuc 4455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4456  df-suc 4461

This theorem is referenced by:  onsucb  4594