Theorem pw0ss 15723

Description: There are no inhabited subsets of the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
pw0ss	|- { s e. ~P (/) | E. j j e. s } = (/)

Distinct variable group:   j, s

Proof of Theorem pw0ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 3782	. . 3 |- ~P (/) = { (/) }
2	1	rabeqi 2766	. 2 |- { s e. ~P (/) | E. j j e. s } = { s e. { (/) } | E. j j e. s }
3		rabeq0 3491	. . 3 |- ( { s e. { (/) } | E. j j e. s } = (/) <-> A. s e. { (/) } -. E. j j e. s )
4		elsni 3652	. . . 4 |- ( s e. { (/) } -> s = (/) )
5		notm0 3482	. . . 4 |- ( -. E. j j e. s <-> s = (/) )
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( s e. { (/) } -> -. E. j j e. s )
7	3, 6	mprgbir 2565	. 2 |- { s e. { (/) } | E. j j e. s } = (/)
8	2, 7	eqtri 2227	1 |- { s e. ~P (/) | E. j j e. s } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {crab 2489   (/)c0 3461   ~Pcpw 3617   {csn 3634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3169  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640

This theorem is referenced by:  uhgr0vb  15724  uhgr0  15725