Theorem notm0 3542

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3540	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1552	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  disjnim  4120  pwntru  4336  exmidn0m  4338  mapprc  6926  map0g  6969  ixpprc  7001  ixp0  7013  exmidfodomrlemim  7553  hashf1lem2  11286  hashf1  11287  ntreq0  15233  blssioo  15654  birthdaylem3  16089  lgsquadlem3  16198  pw0ss  16324  g0wlk0  16611  konigsberg  16734  pwtrufal  17027  wexmiddiffilem  17043  wexmiddifxylem  17045