Theorem notm0 3529

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3527	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1548	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   (/)c0 3508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213  df-nul 3509

This theorem is referenced by:  disjnim  4099  pwntru  4312  exmidn0m  4314  mapprc  6886  map0g  6922  ixpprc  6954  ixp0  6966  exmidfodomrlemim  7504  ntreq0  14997  blssioo  15418  lgsquadlem3  15952  pw0ss  16078  g0wlk0  16365  konigsberg  16488  pwtrufal  16771