Theorem notm0 3542

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3540	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1552	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  disjnim  4115  pwntru  4331  exmidn0m  4333  mapprc  6916  map0g  6959  ixpprc  6991  ixp0  7003  exmidfodomrlemim  7543  hashf1lem2  11264  hashf1  11265  ntreq0  15156  blssioo  15577  lgsquadlem3  16112  pw0ss  16238  g0wlk0  16525  konigsberg  16648  pwtrufal  16941