Theorem notm0 3330

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3328	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1443	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 184	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1297   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   (/)c0 3310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-v 2643  df-dif 3023  df-nul 3311

This theorem is referenced by:  disjnim  3866  exmidn0m  4062  mapprc  6476  map0g  6512  ixpprc  6543  ixp0  6555  exmidfodomrlemim  6966  ntreq0  12083  blssioo  12464  pwtrufal  12777  pwntru  12778