Theorem notm0 3489

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3487	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1523	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-dif 3176  df-nul 3469

This theorem is referenced by:  disjnim  4049  pwntru  4259  exmidn0m  4261  mapprc  6762  map0g  6798  ixpprc  6829  ixp0  6841  exmidfodomrlemim  7340  ntreq0  14719  blssioo  15140  lgsquadlem3  15671  pw0ss  15794  pwtrufal  16136