Theorem notm0 3481

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3479	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1522	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   (/)c0 3460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461

This theorem is referenced by:  disjnim  4035  pwntru  4243  exmidn0m  4245  mapprc  6739  map0g  6775  ixpprc  6806  ixp0  6818  exmidfodomrlemim  7309  ntreq0  14604  blssioo  15025  lgsquadlem3  15556  pwtrufal  15934