Theorem notm0 3512

Description: A class is not inhabited if and only if it is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
notm0	|- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem notm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3510	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )
2		alnex 1545	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> -. E. x x e. A )
3	1, 2	bitr2i 185	1 |- ( -. E. x x e. A <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  disjnim  4073  pwntru  4283  exmidn0m  4285  mapprc  6799  map0g  6835  ixpprc  6866  ixp0  6878  exmidfodomrlemim  7379  ntreq0  14806  blssioo  15227  lgsquadlem3  15758  pw0ss  15883  g0wlk0  16081  pwtrufal  16363