Theorem pwtpss 3853

Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwtpss	|- ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) C_ ~P { A , B , C }

Proof of Theorem pwtpss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstpr 3804	. . 3 |- ( ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) -> x C_ { A , B , C } )
2		elun 3318	. . . 4 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) \/ x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) )
3		elun 3318	. . . . . 6 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
4		vex 2776	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	elpr 3659	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
6	4	elpr 3659	. . . . . . 7 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
7	5, 6	orbi12i 766	. . . . . 6 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
8	3, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
9		elun 3318	. . . . . 6 |- ( x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( x e. { { C } , { A , C } } \/ x e. { { B , C } , { A , B , C } } ) )
10	4	elpr 3659	. . . . . . 7 |- ( x e. { { C } , { A , C } } <-> ( x = { C } \/ x = { A , C } ) )
11	4	elpr 3659	. . . . . . 7 |- ( x e. { { B , C } , { A , B , C } } <-> ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) )
12	10, 11	orbi12i 766	. . . . . 6 |- ( ( x e. { { C } , { A , C } } \/ x e. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) )
13	9, 12	bitri 184	. . . . 5 |- ( x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) )
14	8, 13	orbi12i 766	. . . 4 |- ( ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) \/ x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) )
15	2, 14	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) )
16	4	elpw 3627	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B , C } <-> x C_ { A , B , C } )
17	1, 15, 16	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) -> x e. ~P { A , B , C } )
18	17	ssriv 3201	1 |- ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) C_ ~P { A , B , C }

Syntax hints:   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   u. cun 3168   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ~Pcpw 3621   {csn 3638   {cpr 3639   {ctp 3640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646

This theorem is referenced by: (None)