ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwtpss Unicode version

Theorem pwtpss 3650
Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
pwtpss  |-  ( ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  C_  ~P { A ,  B ,  C }

Proof of Theorem pwtpss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstpr 3601 . . 3  |-  ( ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) )  \/  (
( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } )  \/  (
x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )  ->  x  C_  { A ,  B ,  C }
)
2 elun 3141 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
3 elun 3141 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
4 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54elpr 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } ) )
64elpr 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B } ,  { A ,  B } }  <->  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )
75, 6orbi12i 716 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) ) )
83, 7bitri 182 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( (
x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) ) )
9 elun 3141 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )
104elpr 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  <->  ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } ) )
114elpr 3467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } }  <->  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) )
1210, 11orbi12i 716 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
139, 12bitri 182 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
148, 13orbi12i 716 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )  \/  ( ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
152, 14bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( (
( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) )  \/  (
( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } )  \/  (
x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
164elpw 3435 . . 3  |-  ( x  e.  ~P { A ,  B ,  C }  <->  x 
C_  { A ,  B ,  C }
)
171, 15, 163imtr4i 199 . 2  |-  ( x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  ->  x  e.  ~P { A ,  B ,  C }
)
1817ssriv 3029 1  |-  ( ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  C_  ~P { A ,  B ,  C }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    u. cun 2997    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ~Pcpw 3429   {csn 3446   {cpr 3447   {ctp 3448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator