Theorem ssriv 3231

Description: Inference based on subclass definition. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssriv.1	|- ( x e. A -> x e. B )

Assertion

Ref	Expression
ssriv	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3215	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		ssriv.1	. 2 |- ( x e. A -> x e. B )
3	1, 2	mpgbir 1501	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  ssid  3247  ssv  3249  difss  3333  ssun1  3370  inss1  3427  unssdif  3442  inssdif  3443  unssin  3446  inssun  3447  difindiss  3461  undif3ss  3468  0ss  3533  difprsnss  3811  snsspw  3847  pwprss  3889  pwtpss  3890  uniin  3913  iuniin  3980  iundif2ss  4036  iunpwss  4062  pwuni  4282  pwunss  4380  omsson  4711  limom  4712  xpsspw  4838  dmin  4939  dmrnssfld  4995  dmcoss  5002  dminss  5151  imainss  5152  dmxpss  5167  rnxpid  5171  relmptopab  6223  mapsspm  6850  pmsspw  6851  uniixp  6889  snexxph  7148  djuss  7268  pw1on  7443  enq0enq  7650  nqnq0pi  7657  nqnq0  7660  apsscn  8826  aptap  8829  sup3exmid  9136  zssre  9485  zsscn  9486  nnssz  9495  uzssz  9775  divfnzn  9854  zssq  9860  qssre  9863  rpssre  9898  ixxssxr  10134  ixxssixx  10136  iooval2  10149  ioossre  10169  rge0ssre  10211  fz1ssnn  10290  fzssuz  10299  fzssp1  10301  uzdisj  10327  fz0ssnn0  10350  nn0disj  10372  fzossfz  10400  fzouzsplit  10415  fzossnn  10428  fzo0ssnn0  10459  infssuzcldc  10494  seq3coll  11105  wrdexb  11124  fclim  11854  bitsss  12505  prmssnn  12683  4sqlem19  12981  restsspw  13331  prdsgrpd  13691  prdsinvgd  13692  ringssrng  14049  subrngintm  14225  subrgintm  14256  cnsubmlem  14591  cnsubglem  14592  znf1o  14664  mplbasss  14709  unitg  14785  cldss2  14829  blssioo  15276  tgioo  15277  limccl  15382  limcresi  15389  dvef  15450  plyssc  15462  reeff1o  15496  griedg0ssusgr  16101  trlsfvalg  16233  clwwlksswrd  16247  clwwlksclwwlkn  16260  bj-omsson  16557