Theorem rnsnm 4910

Description: The range of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rnsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. ran { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem rnsnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnm 4909	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
2		dmmrnm 4668	. 2 |- ( E. x x e. dom { A } <-> E. x x e. ran { A } )
3	1, 2	bitri 183	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. ran { A } )

Syntax hints:   <-> wb 104   E.wex 1427   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   {csn 3450   X. cxp 4450   dom cdm 4452   ran crn 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463

This theorem is referenced by: (None)