Theorem dmsnm 5112

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4706	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2755	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4842	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 4019	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2755	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4247	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3623	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2191	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 206	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1616	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   <.cop 3610   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   dom cdm 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-dm 4654

This theorem is referenced by:  rnsnm  5113  dmsn0  5114  dmsn0el  5116  relsn2m  5117