Theorem dmsnm 5074

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4671	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4806	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3988	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4212	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3597	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2172	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 205	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 184	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1598	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3581   <.cop 3584   class class class wbr 3987   X. cxp 4607   dom cdm 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-dm 4619

This theorem is referenced by:  rnsnm  5075  dmsn0  5076  dmsn0el  5078  relsn2m  5079