Theorem dmsnm 5131

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4721	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4859	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 4030	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2763	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4258	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3634	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2195	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 206	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1616	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   dom cdm 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-dm 4669

This theorem is referenced by:  rnsnm  5132  dmsn0  5133  dmsn0el  5135  relsn2m  5136