Theorem dmsnm 5157

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4745	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2776	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4884	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 4052	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2776	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4281	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3654	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2208	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 206	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1629	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1629	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   {csn 3638   <.cop 3641   class class class wbr 4051   X. cxp 4681   dom cdm 4683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-dm 4693

This theorem is referenced by:  rnsnm  5158  dmsn0  5159  dmsn0el  5161  relsn2m  5162