Theorem dmsnm 5209

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4794	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2806	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4934	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 4094	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2806	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4327	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3689	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2233	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 206	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1654	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {csn 3673   <.cop 3676   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  rnsnm  5210  dmsn0  5211  dmsn0el  5213  relsn2m  5214