Theorem dmsnm 5069

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4666	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4801	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3983	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4207	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3592	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2167	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 205	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 184	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1593	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  rnsnm  5070  dmsn0  5071  dmsn0el  5073  relsn2m  5074