ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsnm Unicode version

Theorem dmsnm 4891
Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dmsnm  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dmsnm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elvv 4496 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >. )
2 vex 2622 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
32eldm 4629 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  { A } 
<->  E. y  x { A } y )
4 df-br 3844 . . . . . 6  |-  ( x { A } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { A } )
5 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
62, 5opex 4054 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
76elsn 3460 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { A }  <->  <. x ,  y >.  =  A
)
8 eqcom 2090 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  <->  A  =  <. x ,  y >. )
94, 7, 83bitri 204 . . . . 5  |-  ( x { A } y  <-> 
A  =  <. x ,  y >. )
109exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. y  x { A } y  <->  E. y  A  =  <. x ,  y >. )
113, 10bitr2i 183 . . 3  |-  ( E. y  A  =  <. x ,  y >.  <->  x  e.  dom  { A } )
1211exbii 1541 . 2  |-  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
131, 12bitri 182 1  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3444   <.cop 3447   class class class wbr 3843    X. cxp 4434   dom cdm 4436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-br 3844  df-opab 3898  df-xp 4442  df-dm 4446
This theorem is referenced by:  rnsnm  4892  dmsn0  4893  dmsn0el  4895  relsn2m  4896
  Copyright terms: Public domain W3C validator