Theorem dmsnm 5228

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4812	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2816	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4953	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 4110	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2816	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4345	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3705	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2234	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 206	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 185	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1654	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  rnsnm  5229  dmsn0  5230  dmsn0el  5232  relsn2m  5233