Theorem dmsnm 4999

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4596	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2684	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4731	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3925	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2684	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4146	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3538	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2139	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 205	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 184	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1584	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   <.cop 3525   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   dom cdm 4534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-dm 4544

This theorem is referenced by:  rnsnm  5000  dmsn0  5001  dmsn0el  5003  relsn2m  5004