Theorem dmsnm 5012

Description: The domain of a singleton is inhabited iff the singleton argument is an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnm	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmsnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elvv 4609	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	eldm 4744	. . . 4 |- ( x e. dom { A } <-> E. y x { A } y )
4		df-br 3938	. . . . . 6 |- ( x { A } y <-> <. x , y >. e. { A } )
5		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
6	2, 5	opex 4159	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
7	6	elsn 3548	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { A } <-> <. x , y >. = A )
8		eqcom 2142	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
9	4, 7, 8	3bitri 205	. . . . 5 |- ( x { A } y <-> A = <. x , y >. )
10	9	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. y x { A } y <-> E. y A = <. x , y >. )
11	3, 10	bitr2i 184	. . 3 |- ( E. y A = <. x , y >. <-> x e. dom { A } )
12	11	exbii 1585	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x x e. dom { A } )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3532   <.cop 3535   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  rnsnm  5013  dmsn0  5014  dmsn0el  5016  relsn2m  5017