Theorem dmsn0 5230

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom { (/) } = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4777	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		dmsnm 5228	. . . 4 |- ( (/) e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { (/) } )
3	1, 2	mtbi 677	. . 3 |- -. E. x x e. dom { (/) }
4		alnex 1548	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { (/) } <-> -. E. x x e. dom { (/) } )
5	3, 4	mpbir 146	. 2 |- A. x -. x e. dom { (/) }
6		eq0 3527	. 2 |- ( dom { (/) } = (/) <-> A. x -. x e. dom { (/) } )
7	5, 6	mpbir 146	1 |- dom { (/) } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   {csn 3689   X. cxp 4747   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5231  1st0  6338  2nd0  6339