Theorem dmsn0 5202

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom { (/) } = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4751	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		dmsnm 5200	. . . 4 |- ( (/) e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { (/) } )
3	1, 2	mtbi 674	. . 3 |- -. E. x x e. dom { (/) }
4		alnex 1545	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { (/) } <-> -. E. x x e. dom { (/) } )
5	3, 4	mpbir 146	. 2 |- A. x -. x e. dom { (/) }
6		eq0 3511	. 2 |- ( dom { (/) } = (/) <-> A. x -. x e. dom { (/) } )
7	5, 6	mpbir 146	1 |- dom { (/) } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   (/)c0 3492   {csn 3667   X. cxp 4721   dom cdm 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-dm 4733

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5203  1st0  6302  2nd0  6303