Theorem dmsn0 5078

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom { (/) } = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4639	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		dmsnm 5076	. . . 4 |- ( (/) e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { (/) } )
3	1, 2	mtbi 665	. . 3 |- -. E. x x e. dom { (/) }
4		alnex 1492	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { (/) } <-> -. E. x x e. dom { (/) } )
5	3, 4	mpbir 145	. 2 |- A. x -. x e. dom { (/) }
6		eq0 3433	. 2 |- ( dom { (/) } = (/) <-> A. x -. x e. dom { (/) } )
7	5, 6	mpbir 145	1 |- dom { (/) } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3583   X. cxp 4609   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5079  1st0  6123  2nd0  6124