Theorem supelti 7068

Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supelti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supelti.ex	|- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
supelti.ss	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supelti	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, z, x   x, B, y, z   x, C   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( y, z, v, u)

Proof of Theorem supelti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supelti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2		supelti.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
3		supelti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4		ssrexv 3248	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
5	2, 3, 4	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
6	1, 5	supclti 7064	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )
7		elisset 2777	. . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. A -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
9		eqcom 2198	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , R ) = x )
10	9	exbii 1619	. . 3 |- ( E. x x = sup ( B , A , R ) <-> E. x sup ( B , A , R ) = x )
11	8, 10	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. x sup ( B , A , R ) = x )
12		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) = x )
13	1, 5	supval2ti 7061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
14	13	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( B , A , R ) = x <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x )
16	1, 5	supeuti 7060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
17		riota1 5896	. . . . . . . 8 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
21	20	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. A )
22	2, 3, 16	jca32 310	. . . . 5 |- ( ph -> ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) )
23	20	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
24		reupick 3447	. . . . 5 |- ( ( ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
25	22, 23, 24	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
26	21, 25	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. C )
27	12, 26	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) e. C )
28	11, 27	exlimddv 1913	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   E!wreu 2477   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   iota_crio 5876   supcsup 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-riota 5877  df-sup 7050

This theorem is referenced by:  zsupcl  10321