ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supelti Unicode version

Theorem supelti 7000
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supelti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
supelti.ss  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supelti  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, z, x    x, B, y, z    x, C    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( y, z, v, u)

Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
2 supelti.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
3 supelti.ex . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 ssrexv 3220 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
61, 5supclti 6996 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  A )
7 elisset 2751 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  A  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
9 eqcom 2179 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  <->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
109exbii 1605 . . 3  |-  ( E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )  <->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
118, 10sylib 122 . 2  |-  ( ph  ->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
12 simpr 110 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
131, 5supval2ti 6993 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1413eqeq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  A ,  R
)  =  x  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1514biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x )
161, 5supeuti 6992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
17 riota1 5848 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1918adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
2015, 19mpbird 167 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
2120simpld 112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  A )
222, 3, 16jca32 310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
2320simprd 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
24 reupick 3419 . . . . 5  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2522, 23, 24syl2an2r 595 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2621, 25mpbird 167 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  C )
2712, 26eqeltrd 2254 . 2  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C
)
2811, 27exlimddv 1898 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457    C_ wss 3129   class class class wbr 4003   iota_crio 5829   supcsup 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-iota 5178  df-riota 5830  df-sup 6982
This theorem is referenced by:  zsupcl  11947
  Copyright terms: Public domain W3C validator