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Theorem supelti 6889
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supelti.ex |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
supelti.ss |- ( ph -> C C_ A )
Assertion
Ref Expression
supelti |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )
Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, z, x   x, B, y, z   x, C   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x
Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( y, z, v, u)
Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2 supelti.ss . . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
3 supelti.ex . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4 ssrexv 3162 . . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 62 . . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
61, 5supclti 6885 . . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )
7 elisset 2700 . . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. A -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
86, 7syl 14 . . 3 |- ( ph -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
9 eqcom 2141 . . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , R ) = x )
109exbii 1584 . . 3 |- ( E. x x = sup ( B , A , R ) <-> E. x sup ( B , A , R ) = x )
118, 10sylib 121 . 2 |- ( ph -> E. x sup ( B , A , R ) = x )
12 simpr 109 . . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) = x )
131, 5supval2ti 6882 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
1413eqeq1d 2148 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( B , A , R ) = x <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1514biimpa 294 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x )
161, 5supeuti 6881 . . . . . . . 8 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
17 riota1 5748 . . . . . . . 8 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1918adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
2015, 19mpbird 166 . . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
2120simpld 111 . . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. A )
222, 3, 16jca32 308 . . . . 5 |- ( ph -> ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) )
2320simprd 113 . . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
24 reupick 3360 . . . . 5 |- ( ( ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
2522, 23, 24syl2an2r 584 . . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
2621, 25mpbird 166 . . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. C )
2712, 26eqeltrd 2216 . 2 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) e. C )
2811, 27exlimddv 1870 1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   E!wreu 2418   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   iota_crio 5729   supcsup 6869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871
This theorem is referenced by:  zsupcl  11640
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