Theorem supelti 7104

Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supelti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supelti.ex	|- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
supelti.ss	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supelti	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, z, x   x, B, y, z   x, C   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( y, z, v, u)

Proof of Theorem supelti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supelti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2		supelti.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
3		supelti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4		ssrexv 3258	. . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
5	2, 3, 4	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
6	1, 5	supclti 7100	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )
7		elisset 2786	. . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. A -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
9		eqcom 2207	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , R ) = x )
10	9	exbii 1628	. . 3 |- ( E. x x = sup ( B , A , R ) <-> E. x sup ( B , A , R ) = x )
11	8, 10	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. x sup ( B , A , R ) = x )
12		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) = x )
13	1, 5	supval2ti 7097	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
14	13	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( B , A , R ) = x <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
15	14	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x )
16	1, 5	supeuti 7096	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
17		riota1 5918	. . . . . . . 8 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
19	18	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
20	15, 19	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
21	20	simpld 112	. . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. A )
22	2, 3, 16	jca32 310	. . . . 5 |- ( ph -> ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) )
23	20	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
24		reupick 3457	. . . . 5 |- ( ( ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
25	22, 23, 24	syl2an2r 595	. . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
26	21, 25	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. C )
27	12, 26	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) e. C )
28	11, 27	exlimddv 1922	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   iota_crio 5898   supcsup 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-riota 5899  df-sup 7086

This theorem is referenced by:  zsupcl  10374