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Theorem supelti 6896
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supelti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
supelti.ss  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supelti  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, z, x    x, B, y, z    x, C    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( y, z, v, u)

Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
2 supelti.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
3 supelti.ex . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 ssrexv 3166 . . . . . 6  |-  ( C 
C_  A  ->  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
61, 5supclti 6892 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  A )
7 elisset 2703 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  A  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )
)
9 eqcom 2142 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  <->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
109exbii 1585 . . 3  |-  ( E. x  x  =  sup ( B ,  A ,  R )  <->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
118, 10sylib 121 . 2  |-  ( ph  ->  E. x sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
12 simpr 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )
131, 5supval2ti 6889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1413eqeq1d 2149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  A ,  R
)  =  x  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1514biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x )
161, 5supeuti 6888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
17 riota1 5755 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
1918adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  x ) )
2015, 19mpbird 166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
2120simpld 111 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  A )
222, 3, 16jca32 308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
2320simprd 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
24 reupick 3364 . . . . 5  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  ( E. x  e.  C  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2522, 23, 24syl2an2r 585 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  A
) )
2621, 25mpbird 166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  x  e.  C )
2712, 26eqeltrd 2217 . 2  |-  ( (
ph  /\  sup ( B ,  A ,  R )  =  x )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C
)
2811, 27exlimddv 1871 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   E!wreu 2419    C_ wss 3075   class class class wbr 3936   iota_crio 5736   supcsup 6876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-iota 5095  df-riota 5737  df-sup 6878
This theorem is referenced by:  zsupcl  11674
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