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Theorem supelti 7000
Description: Supremum membership in a set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supelti.ti |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supelti.ex |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
supelti.ss |- ( ph -> C C_ A )
Assertion
Ref Expression
supelti |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )
Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, z, x   x, B, y, z   x, C   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x
Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( y, z, v, u)
Proof of Theorem supelti
StepHypRef Expression
1 supelti.ti . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2 supelti.ss . . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
3 supelti.ex . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
4 ssrexv 3220 . . . . . 6 |- ( C C_ A -> ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
52, 3, 4sylc 62 . . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
61, 5supclti 6996 . . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. A )
7 elisset 2751 . . . 4 |- ( sup ( B , A , R ) e. A -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
86, 7syl 14 . . 3 |- ( ph -> E. x x = sup ( B , A , R ) )
9 eqcom 2179 . . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , R ) = x )
109exbii 1605 . . 3 |- ( E. x x = sup ( B , A , R ) <-> E. x sup ( B , A , R ) = x )
118, 10sylib 122 . 2 |- ( ph -> E. x sup ( B , A , R ) = x )
12 simpr 110 . . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) = x )
131, 5supval2ti 6993 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
1413eqeq1d 2186 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( B , A , R ) = x <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1514biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x )
161, 5supeuti 6992 . . . . . . . 8 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
17 riota1 5848 . . . . . . . 8 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
1918adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = x ) )
2015, 19mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. A /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
2120simpld 112 . . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. A )
222, 3, 16jca32 310 . . . . 5 |- ( ph -> ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) )
2320simprd 114 . . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
24 reupick 3419 . . . . 5 |- ( ( ( C C_ A /\ ( E. x e. C ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) ) /\ ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
2522, 23, 24syl2an2r 595 . . . 4 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> ( x e. C <-> x e. A ) )
2621, 25mpbird 167 . . 3 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> x e. C )
2712, 26eqeltrd 2254 . 2 |- ( ( ph /\ sup ( B , A , R ) = x ) -> sup ( B , A , R ) e. C )
2811, 27exlimddv 1898 1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E!wreu 2457   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   iota_crio 5829   supcsup 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-iota 5178  df-riota 5830  df-sup 6982
This theorem is referenced by:  zsupcl  11947
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