Theorem infisoti 7362

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infisoti.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infisoti.2	|- ( ph -> C C_ A )
infisoti.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infisoti	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, C, v, x, y, z   u, F, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   u, S, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infisoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infisoti.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 6008	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infisoti.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infisoti.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
6	5	cnvinfex 7348	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
7		infisoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	cnvti 7349	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
9	3, 4, 6, 8	supisoti 7340	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
10		df-inf 7315	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
11		df-inf 7315	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
12	11	fveq2i 5693	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2296	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   "cima 4772   ` cfv 5372   Isom wiso 5373   supcsup 7312  infcinf 7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-sup 7314  df-inf 7315

This theorem is referenced by: (None)