Theorem infisoti 6993

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infisoti.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infisoti.2	|- ( ph -> C C_ A )
infisoti.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infisoti	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, C, v, x, y, z   u, F, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   u, S, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infisoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infisoti.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 5779	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infisoti.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infisoti.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
6	5	cnvinfex 6979	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
7		infisoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	cnvti 6980	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
9	3, 4, 6, 8	supisoti 6971	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
10		df-inf 6946	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
11		df-inf 6946	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
12	11	fveq2i 5488	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2223	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   C_ wss 3115   class class class wbr 3981   `'ccnv 4602   "cima 4606   ` cfv 5187   Isom wiso 5188   supcsup 6943  infcinf 6944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-sup 6945  df-inf 6946

This theorem is referenced by: (None)