Theorem infisoti 7336

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infisoti.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infisoti.2	|- ( ph -> C C_ A )
infisoti.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infisoti	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, C, v, x, y, z   u, F, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   u, S, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infisoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infisoti.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 5991	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infisoti.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infisoti.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
6	5	cnvinfex 7322	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
7		infisoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	cnvti 7323	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
9	3, 4, 6, 8	supisoti 7314	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
10		df-inf 7289	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
11		df-inf 7289	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
12	11	fveq2i 5678	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2292	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   "cima 4757   ` cfv 5357   Isom wiso 5358   supcsup 7286  infcinf 7287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-sup 7288  df-inf 7289

This theorem is referenced by: (None)