ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infisoti Unicode version

Theorem infisoti 6671
Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infisoti.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
infisoti.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
infisoti.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  C  z R y ) ) )
infisoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
Assertion
Ref Expression
infisoti  |-  ( ph  -> inf ( ( F " C ) ,  B ,  S )  =  ( F ` inf ( C ,  A ,  R ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x, y, z    u, B, v, x, y, z   
u, C, v, x, y, z    u, F, v, x, y, z   
u, R, v, x, y, z    u, S, v, x, y, z    ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infisoti
StepHypRef Expression
1 infisoti.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 isocnv2 5552 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
F  Isom  `' R ,  `' S ( A ,  B ) )
31, 2sylib 120 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  `' R ,  `' S ( A ,  B ) )
4 infisoti.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
5 infisoti.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  C  z R y ) ) )
65cnvinfex 6657 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  C  y `' R z ) ) )
7 infisoti.ti . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
87cnvti 6658 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
93, 4, 6, 8supisoti 6649 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ( F
" C ) ,  B ,  `' S
)  =  ( F `
 sup ( C ,  A ,  `' R ) ) )
10 df-inf 6624 . 2  |- inf ( ( F " C ) ,  B ,  S
)  =  sup (
( F " C
) ,  B ,  `' S )
11 df-inf 6624 . . 3  |- inf ( C ,  A ,  R
)  =  sup ( C ,  A ,  `' R )
1211fveq2i 5271 . 2  |-  ( F `
inf ( C ,  A ,  R )
)  =  ( F `
 sup ( C ,  A ,  `' R ) )
139, 10, 123eqtr4g 2142 1  |-  ( ph  -> inf ( ( F " C ) ,  B ,  S )  =  ( F ` inf ( C ,  A ,  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2988   class class class wbr 3820   `'ccnv 4410   "cima 4414   ` cfv 4981    Isom wiso 4982   supcsup 6621  infcinf 6622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-isom 4990  df-riota 5569  df-sup 6623  df-inf 6624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator