Theorem dvelimf 2027

Description: Version of dvelim 2029 without any variable restrictions. (Contributed by NM, 1-Oct-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvelimf.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)
dvelimf.2	⊢ (𝜓 → ∀𝑧𝜓)
dvelimf.3	⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
dvelimf	⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))

Proof of Theorem dvelimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvelimf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)
2	1	hbsb4 2024	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑧]𝜑 → ∀𝑥[𝑦 / 𝑧]𝜑))
3		dvelimf.2	. . 3 ⊢ (𝜓 → ∀𝑧𝜓)
4		dvelimf.3	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	3, 4	sbieh 1801	. 2 ⊢ ([𝑦 / 𝑧]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	albii 1481	. 2 ⊢ (∀𝑥[𝑦 / 𝑧]𝜑 ↔ ∀𝑥𝜓)
7	2, 5, 6	3imtr3g 204	1 ⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362  [wsb 1773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774

This theorem is referenced by:  dvelim  2029  dveel1  2169  dveel2  2170