Theorem dvelimf 1939

Description: Version of dvelim 1941 without any variable restrictions. (Contributed by NM, 1-Oct-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvelimf.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)
dvelimf.2	⊢ (𝜓 → ∀𝑧𝜓)
dvelimf.3	⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
dvelimf	⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))

Proof of Theorem dvelimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvelimf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)
2	1	hbsb4 1936	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → ([𝑦 / 𝑧]𝜑 → ∀𝑥[𝑦 / 𝑧]𝜑))
3		dvelimf.2	. . 3 ⊢ (𝜓 → ∀𝑧𝜓)
4		dvelimf.3	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	3, 4	sbieh 1720	. 2 ⊢ ([𝑦 / 𝑧]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	albii 1404	. 2 ⊢ (∀𝑥[𝑦 / 𝑧]𝜑 ↔ ∀𝑥𝜓)
7	2, 5, 6	3imtr3g 202	1 ⊢ (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 103  ∀wal 1287  [wsb 1692

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693

This theorem is referenced by:  dvelim  1941  dveel1  1944  dveel2  1945