Theorem ablgrp 14094

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14093	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Grpcgrp 13807  CMndccmn 14089  Abelcabl 14090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14092

This theorem is used by:  ablgrpd  14095  ablinvadd  14116  ablsub2inv  14117  ablsubadd  14118  ablsub4  14119  abladdsub4  14120  abladdsub  14121  ablpncan2  14122  ablpncan3  14123  ablsubsub  14124  ablsubsub4  14125  ablpnpcan  14126  ablnncan  14127  ablnnncan  14129  ablnnncan1  14130  ablsubsub23  14131  ghmabl  14134  invghm  14135  eqgabl  14136  ablressid  14141  rnglz  14246  rngpropd  14256