Theorem ablgrp 14045

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14044	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Grpcgrp 13758  CMndccmn 14040  Abelcabl 14041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-abl 14043

This theorem is referenced by:  ablgrpd  14046  ablinvadd  14066  ablsub2inv  14067  ablsubadd  14068  ablsub4  14069  abladdsub4  14070  abladdsub  14071  ablpncan2  14072  ablpncan3  14073  ablsubsub  14074  ablsubsub4  14075  ablpnpcan  14076  ablnncan  14077  ablnnncan  14079  ablnnncan1  14080  ablsubsub23  14081  ghmabl  14084  invghm  14085  eqgabl  14086  ablressid  14091  rnglz  14187  rngpropd  14197