Theorem ablgrp 13995

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13994	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Grpcgrp 13702  CMndccmn 13990  Abelcabl 13991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-in 3216  df-abl 13993

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13996  ablinvadd  14016  ablsub2inv  14017  ablsubadd  14018  ablsub4  14019  abladdsub4  14020  abladdsub  14021  ablpncan2  14022  ablpncan3  14023  ablsubsub  14024  ablsubsub4  14025  ablpnpcan  14026  ablnncan  14027  ablnnncan  14029  ablnnncan1  14030  ablsubsub23  14031  ghmabl  14034  invghm  14035  eqgabl  14036  ablressid  14041  rnglz  14078  rngpropd  14088