Theorem ablgrp 13497

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13496	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Grpcgrp 13204  CMndccmn 13492  Abelcabl 13493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-abl 13495

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13498  ablinvadd  13518  ablsub2inv  13519  ablsubadd  13520  ablsub4  13521  abladdsub4  13522  abladdsub  13523  ablpncan2  13524  ablpncan3  13525  ablsubsub  13526  ablsubsub4  13527  ablpnpcan  13528  ablnncan  13529  ablnnncan  13531  ablnnncan1  13532  ablsubsub23  13533  ghmabl  13536  invghm  13537  eqgabl  13538  ablressid  13543  rnglz  13579  rngpropd  13589