Theorem ablgrp 13495

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13494	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Grpcgrp 13202  CMndccmn 13490  Abelcabl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-abl 13493

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13496  ablinvadd  13516  ablsub2inv  13517  ablsubadd  13518  ablsub4  13519  abladdsub4  13520  abladdsub  13521  ablpncan2  13522  ablpncan3  13523  ablsubsub  13524  ablsubsub4  13525  ablpnpcan  13526  ablnncan  13527  ablnnncan  13529  ablnnncan1  13530  ablsubsub23  13531  ghmabl  13534  invghm  13535  eqgabl  13536  ablressid  13541  rnglz  13577  rngpropd  13587