Theorem ablgrp 13669

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13668	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  Grpcgrp 13376  CMndccmn 13664  Abelcabl 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-in 3173  df-abl 13667

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13670  ablinvadd  13690  ablsub2inv  13691  ablsubadd  13692  ablsub4  13693  abladdsub4  13694  abladdsub  13695  ablpncan2  13696  ablpncan3  13697  ablsubsub  13698  ablsubsub4  13699  ablpnpcan  13700  ablnncan  13701  ablnnncan  13703  ablnnncan1  13704  ablsubsub23  13705  ghmabl  13708  invghm  13709  eqgabl  13710  ablressid  13715  rnglz  13751  rngpropd  13761