Theorem ablgrp 14183

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14182	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Grpcgrp 13865  CMndccmn 14178  Abelcabl 14179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14181

This theorem is used by:  ablgrpd  14184  ablinvadd  14205  ablsub2inv  14206  ablsubadd  14207  ablsub4  14208  abladdsub4  14209  abladdsub  14210  ablpncan2  14211  ablpncan3  14212  ablsubsub  14213  ablsubsub4  14214  ablpnpcan  14215  ablnncan  14216  ablnnncan  14218  ablnnncan1  14219  ablsubsub23  14220  ghmabl  14223  invghm  14224  eqgabl  14225  ablressid  14230  rnglz  14352  rngpropd  14362