Theorem ablgrp 13834

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Grpcgrp 13541  CMndccmn 13829  Abelcabl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-abl 13832

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13835  ablinvadd  13855  ablsub2inv  13856  ablsubadd  13857  ablsub4  13858  abladdsub4  13859  abladdsub  13860  ablpncan2  13861  ablpncan3  13862  ablsubsub  13863  ablsubsub4  13864  ablpnpcan  13865  ablnncan  13866  ablnnncan  13868  ablnnncan1  13869  ablsubsub23  13870  ghmabl  13873  invghm  13874  eqgabl  13875  ablressid  13880  rnglz  13916  rngpropd  13926