Theorem ablgrp 13878

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13877	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Grpcgrp 13585  CMndccmn 13873  Abelcabl 13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-abl 13876

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13879  ablinvadd  13899  ablsub2inv  13900  ablsubadd  13901  ablsub4  13902  abladdsub4  13903  abladdsub  13904  ablpncan2  13905  ablpncan3  13906  ablsubsub  13907  ablsubsub4  13908  ablpnpcan  13909  ablnncan  13910  ablnnncan  13912  ablnnncan1  13913  ablsubsub23  13914  ghmabl  13917  invghm  13918  eqgabl  13919  ablressid  13924  rnglz  13961  rngpropd  13971