Theorem ablgrp 13792

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13791	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180  Grpcgrp 13499  CMndccmn 13787  Abelcabl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-v 2781  df-in 3183  df-abl 13790

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13793  ablinvadd  13813  ablsub2inv  13814  ablsubadd  13815  ablsub4  13816  abladdsub4  13817  abladdsub  13818  ablpncan2  13819  ablpncan3  13820  ablsubsub  13821  ablsubsub4  13822  ablpnpcan  13823  ablnncan  13824  ablnnncan  13826  ablnnncan1  13827  ablsubsub23  13828  ghmabl  13831  invghm  13832  eqgabl  13833  ablressid  13838  rnglz  13874  rngpropd  13884