Theorem ablgrp 14075

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 14074	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Grpcgrp 13788  CMndccmn 14070  Abelcabl 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-abl 14073

This theorem is referenced by:  ablgrpd  14076  ablinvadd  14097  ablsub2inv  14098  ablsubadd  14099  ablsub4  14100  abladdsub4  14101  abladdsub  14102  ablpncan2  14103  ablpncan3  14104  ablsubsub  14105  ablsubsub4  14106  ablpnpcan  14107  ablnncan  14108  ablnnncan  14110  ablnnncan1  14111  ablsubsub23  14112  ghmabl  14115  invghm  14116  eqgabl  14117  ablressid  14122  rnglz  14227  rngpropd  14237