Theorem ablgrp 13847

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13846	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Grpcgrp 13554  CMndccmn 13842  Abelcabl 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-abl 13845

This theorem is referenced by:  ablgrpd  13848  ablinvadd  13868  ablsub2inv  13869  ablsubadd  13870  ablsub4  13871  abladdsub4  13872  abladdsub  13873  ablpncan2  13874  ablpncan3  13875  ablsubsub  13876  ablsubsub4  13877  ablpnpcan  13878  ablnncan  13879  ablnnncan  13881  ablnnncan1  13882  ablsubsub23  13883  ghmabl  13886  invghm  13887  eqgabl  13888  ablressid  13893  rnglz  13929  rngpropd  13939