Theorem elin2 3351

Description: Membership in a class defined as an intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elin2.x	⊢ 𝑋 = (𝐵 ∩ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elin2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝐵 ∩ 𝐶)
2	1	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
3		elin 3346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))
4	2, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163

This theorem is referenced by:  elin3  3354  fnres  5374  funfvima  5794  isabl  13418  isidom  13832  lmres  14484