Theorem unitabl 13616

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13507	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 13615	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8	7	crngmgp 13503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9	5	grpmndd 13088	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10		basfn 12679	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		elex 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
12		funfvex 5572	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	12	funfni 5355	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
15		eqidd 2194	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
16	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17		ringsrg 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
19	15, 16, 18	unitssd 13608	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	ssexd 4170	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ V)
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13406	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
22		isabl 13361	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621   ↾_s cress 12622  Grpcgrp 13075  CMndccmn 13357  Abelcabl 13358  mulGrpcmgp 13419  SRingcsrg 13462  Ringcrg 13495  CRingccrg 13496  Unitcui 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-tpos 6300  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-cring 13498  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-unit 13589

This theorem is referenced by: (None)