Theorem unitabl 14251

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 14141	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 14250	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8	7	crngmgp 14137	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9	5	grpmndd 13715	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10		basfn 13260	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		elex 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
12		funfvex 5686	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	12	funfni 5457	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
15		eqidd 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
16	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17		ringsrg 14180	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
19	15, 16, 18	unitssd 14243	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	ssexd 4249	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ V)
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 14039	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
22		isabl 13994	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201   ↾_s cress 13202  Grpcgrp 13702  CMndccmn 13990  Abelcabl 13991  mulGrpcmgp 14053  SRingcsrg 14096  Ringcrg 14129  CRingccrg 14130  Unitcui 14220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-tpos 6475  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-unit 14223

This theorem is referenced by: (None)