Theorem unitabl 14534

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 14420	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 14533	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8	7	crngmgp 14416	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9	5	grpmndd 13878	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10		basfn 13470	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
12		funfvex 5715	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	12	funfni 5486	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	10, 11, 13	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
15		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
16	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17		ringsrg 14460	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
19	15, 16, 18	unitssd 14526	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	ssexd 4275	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ V)
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 14228	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
22		isabl 14182	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
23	5, 21, 22	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412  Grpcgrp 13865  CMndccmn 14178  Abelcabl 14179  mulGrpcmgp 14325  SRingcsrg 14375  Ringcrg 14408  CRingccrg 14409  Unitcui 14503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-cring 14411  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506

This theorem is used by: (None)