ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitabl GIF version

Theorem unitabl 13284
Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitgrp.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitgrp.2 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
unitabl (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl
StepHypRef Expression
1 crngring 13189 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 unitgrp.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 unitgrp.2 . . . 4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
42, 3unitgrp 13283 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
51, 4syl 14 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Grp)
63a1i 9 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
7 eqid 2177 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
87crngmgp 13185 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
95grpmndd 12888 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
10 basfn 12519 . . . . 5 Base Fn V
11 elex 2748 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ V)
12 funfvex 5532 . . . . . 6 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
1312funfni 5316 . . . . 5 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
1410, 11, 13sylancr 414 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
15 eqidd 2178 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
162a1i 9 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
17 ringsrg 13222 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
181, 17syl 14 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ SRing)
1915, 16, 18unitssd 13276 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2014, 19ssexd 4143 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ π‘ˆ ∈ V)
216, 8, 9, 20subcmnd 13127 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
22 isabl 13090 . 2 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
235, 21, 22sylanbrc 417 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   Fn wfn 5211  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461   β†Ύs cress 12462  Grpcgrp 12876  CMndccmn 13086  Abelcabl 13087  mulGrpcmgp 13128  SRingcsrg 13144  Ringcrg 13177  CRingccrg 13178  Unitcui 13254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-minusg 12880  df-cmn 13088  df-abl 13089  df-mgp 13129  df-ur 13141  df-srg 13145  df-ring 13179  df-cring 13180  df-oppr 13238  df-dvdsr 13256  df-unit 13257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator