Theorem unitabl 13239

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13144	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 13238	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8	7	crngmgp 13140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9	5	grpmndd 12843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10		basfn 12514	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		elex 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
12		funfvex 5532	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	12	funfni 5316	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
15		eqidd 2178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
16	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17		ringsrg 13177	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
19	15, 16, 18	unitssd 13231	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	ssexd 4143	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ V)
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13082	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
22		isabl 13045	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   Fn wfn 5211  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456   ↾_s cress 12457  Grpcgrp 12831  CMndccmn 13041  Abelcabl 13042  mulGrpcmgp 13083  SRingcsrg 13099  Ringcrg 13132  CRingccrg 13133  Unitcui 13209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-cring 13135  df-oppr 13193  df-dvdsr 13211  df-unit 13212

This theorem is referenced by: (None)