Theorem unitabl 13749

Description: The group of units of a commutative ring is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitgrp.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitabl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem unitabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13640	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		unitgrp.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	2, 3	unitgrp 13748	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8	7	crngmgp 13636	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
9	5	grpmndd 13215	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
10		basfn 12761	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		elex 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
12		funfvex 5578	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	12	funfni 5361	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	10, 11, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
15		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
16	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17		ringsrg 13679	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ SRing)
19	15, 16, 18	unitssd 13741	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	ssexd 4174	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑈 ∈ V)
21	6, 8, 9, 20	subcmnd 13539	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
22		isabl 13494	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
23	5, 21, 22	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703   ↾_s cress 12704  Grpcgrp 13202  CMndccmn 13490  Abelcabl 13491  mulGrpcmgp 13552  SRingcsrg 13595  Ringcrg 13628  CRingccrg 13629  Unitcui 13719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-tpos 6312  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722

This theorem is referenced by: (None)