Theorem isabld 13553

Description: Properties that determine an Abelian group. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isabld.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isabld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
isabld.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isabld	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		isabld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isabld.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
4	1	grpmndd 13263	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		isabld.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
6	2, 3, 4, 5	iscmnd 13552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		isabl 13542	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
8	1, 6, 7	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  Grpcgrp 13250  CMndccmn 13538  Abelcabl 13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-iota 5229  df-fv 5276  df-ov 5937  df-grp 13253  df-cmn 13540  df-abl 13541

This theorem is referenced by:  subgabl  13586  ablressid  13589  ringabl  13712  lmodabl  14014