Theorem isabld 13710

Description: Properties that determine an Abelian group. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isabld.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isabld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
isabld.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isabld	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		isabld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isabld.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
4	1	grpmndd 13420	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		isabld.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
6	2, 3, 4, 5	iscmnd 13709	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		isabl 13699	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
8	1, 6, 7	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  Grpcgrp 13407  CMndccmn 13695  Abelcabl 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-grp 13410  df-cmn 13697  df-abl 13698

This theorem is referenced by:  subgabl  13743  ablressid  13746  ringabl  13869  lmodabl  14171