Theorem isabld 13505

Description: Properties that determine an Abelian group. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isabld.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isabld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
isabld.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isabld	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		isabld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isabld.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
4	1	grpmndd 13215	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		isabld.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
6	2, 3, 4, 5	iscmnd 13504	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
7		isabl 13494	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
8	1, 6, 7	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Grpcgrp 13202  CMndccmn 13490  Abelcabl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-grp 13205  df-cmn 13492  df-abl 13493

This theorem is referenced by:  subgabl  13538  ablressid  13541  ringabl  13664  lmodabl  13966