Theorem isabl2 13839

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscmn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isabl2	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2		grpmnd 13548	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3		iscmn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		iscmn.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	iscmn 13838	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
6	5	baib 924	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
7	2, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
8	7	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
9	1, 8	bitri 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  Mndcmnd 13457  Grpcgrp 13541  CMndccmn 13829  Abelcabl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-grp 13544  df-cmn 13831  df-abl 13832

This theorem is referenced by:  isabli  13845  invghm  13874  imasabl  13881