Theorem isabl2 13797

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group". (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscmn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isabl2	⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 13791	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2		grpmnd 13506	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3		iscmn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		iscmn.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	iscmn 13796	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
6	5	baib 923	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
7	2, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
8	7	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
9	1, 8	bitri 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  Mndcmnd 13415  Grpcgrp 13499  CMndccmn 13787  Abelcabl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-grp 13502  df-cmn 13789  df-abl 13790

This theorem is referenced by:  isabli  13803  invghm  13832  imasabl  13839