Theorem ablpropd 12895

Description: If two structures have the same group components (properties), one is an Abelian group iff the other one is. (Contributed by NM, 6-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ablpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ablpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ablpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Abel ↔ 𝐿 ∈ Abel))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ablpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ablpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ablpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	grppropd 12754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
5	1, 2, 3	cmnpropd 12894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ CMnd ↔ 𝐿 ∈ CMnd))
6	4, 5	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ CMnd) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ CMnd)))
7		isabl 12888	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Abel ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ CMnd))
8		isabl 12888	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Abel ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ CMnd))
9	6, 7, 8	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Abel ↔ 𝐿 ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  +_gcplusg 12492  Grpcgrp 12738  CMndccmn 12884  Abelcabl 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-grp 12741  df-cmn 12886  df-abl 12887

This theorem is referenced by:  ablprop  12896