Theorem reean 2666

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
reean.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
reean.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜓

Assertion

Ref	Expression
reean	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reean

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 586	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
2	1	2exbii 1620	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
3		nfv 1542	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
4		reean.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
5	3, 4	nfan 1579	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)
6		nfv 1542	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
7		reean.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
8	6, 7	nfan 1579	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)
9	5, 8	eean 1950	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
10	2, 9	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
11		r2ex 2517	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 ∧ 𝜓)))
12		df-rex 2481	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
13		df-rex 2481	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
14	12, 13	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
15	10, 11, 14	3bitr4i 212	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  Ⅎwnf 1474  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  reeanv  2667