Theorem 19.41rgVD 45346

Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 44995. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 44995 is 19.41rgVD 45346 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 45346. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
2:1:	⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → ( 𝜑 ∧ 𝜓))))
3:2:	⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
4:3:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
6:4,5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
7::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥𝜓   )
8:6,7:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
9:8:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
10:9:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
11:5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀ 𝑥𝜓)   )
12:10,11:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ( ∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
13:12:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
14:13:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥 𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
qed:14:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
19.41rgVD	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem 19.41rgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 45019	. . . . . . . . 9 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
2		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
3	2	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5	4	ax-gen 1797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6		al2im 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	5, 6	e0a 45216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	1, 7	e1a 45072	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
9		idn2 45058	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥𝜓   )
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
11	8, 9, 10	e12 45168	. . . . . . 7 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
12		exim 1836	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
13	11, 12	e2 45076	. . . . . 6 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
14	13	in2 45050	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
15		sp 2191	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
16	1, 15	e1a 45072	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
17		imim2 58	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))))
18	14, 16, 17	e11 45133	. . . 4 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
19		pm2.04 90	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
20	18, 19	e1a 45072	. . 3 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
21		pm3.31 449	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
22	20, 21	e1a 45072	. 2 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
23	22	in1 45016	1 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-12 2185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1782  df-vd1 45015  df-vd2 45023

This theorem is referenced by: (None)