Theorem 19.41rgVD 44873

Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 44521. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 44521 is 19.41rgVD 44873 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 44873. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
2:1:	⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → ( 𝜑 ∧ 𝜓))))
3:2:	⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
4:3:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
6:4,5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
7::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥𝜓   )
8:6,7:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
9:8:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
10:9:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
11:5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀ 𝑥𝜓)   )
12:10,11:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ( ∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
13:12:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
14:13:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥 𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
qed:14:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
19.41rgVD	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem 19.41rgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 44545	. . . . . . . . 9 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
2		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
3	2	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5	4	ax-gen 1793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6		al2im 1812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	5, 6	e0a 44743	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	1, 7	e1a 44598	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
9		idn2 44584	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥𝜓   )
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
11	8, 9, 10	e12 44695	. . . . . . 7 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
12		exim 1832	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
13	11, 12	e2 44602	. . . . . 6 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
14	13	in2 44576	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
15		sp 2184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
16	1, 15	e1a 44598	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
17		imim2 58	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))))
18	14, 16, 17	e11 44659	. . . 4 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
19		pm2.04 90	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
20	18, 19	e1a 44598	. . 3 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
21		pm3.31 449	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
22	20, 21	e1a 44598	. 2 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
23	22	in1 44542	1 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535  ∃wex 1777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-12 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1778  df-vd1 44541  df-vd2 44549

This theorem is referenced by: (None)