Theorem 19.41rgVD 43595

Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 43243. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 43243 is 19.41rgVD 43595 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 43595. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
2:1:	⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → ( 𝜑 ∧ 𝜓))))
3:2:	⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
4:3:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
6:4,5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
7::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥𝜓   )
8:6,7:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
9:8:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
10:9:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
11:5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀ 𝑥𝜓)   )
12:10,11:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ( ∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
13:12:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
14:13:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥 𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
qed:14:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
19.41rgVD	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem 19.41rgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 43267	. . . . . . . . 9 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
2		pm3.2 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
3	2	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5	4	ax-gen 1798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6		al2im 1817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	5, 6	e0a 43465	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	1, 7	e1a 43320	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
9		idn2 43306	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥𝜓   )
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
11	8, 9, 10	e12 43417	. . . . . . 7 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
12		exim 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
13	11, 12	e2 43324	. . . . . 6 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
14	13	in2 43298	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
15		sp 2177	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
16	1, 15	e1a 43320	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
17		imim2 58	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))))
18	14, 16, 17	e11 43381	. . . 4 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
19		pm2.04 90	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
20	18, 19	e1a 43320	. . 3 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
21		pm3.31 451	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
22	20, 21	e1a 43320	. 2 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
23	22	in1 43264	1 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397  ∀wal 1540  ∃wex 1782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-12 2172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-ex 1783  df-vd1 43263  df-vd2 43271

This theorem is referenced by: (None)