| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | vex 3484 |
. . . . . 6
⊢ 𝑥 ∈ V |
| 2 | | vex 3484 |
. . . . . 6
⊢ 𝑦 ∈ V |
| 3 | 1, 2 | pm3.2i 470 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) |
| 5 | 4 | ssopab2i 5555 |
. . 3
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} ⊆ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)} |
| 6 | 3 | biantru 529 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))) |
| 7 | 6 | exbii 1848 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))) |
| 8 | 7 | exbii 1848 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))) |
| 9 | 8 | abbii 2809 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))} |
| 10 | | ax6ev 1969 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
∃𝑢 𝑢 = 𝑥 |
| 11 | | equcom 2017 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑢 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑢) |
| 12 | 11 | exbii 1848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑢 𝑢 = 𝑥 ↔ ∃𝑢 𝑥 = 𝑢) |
| 13 | 10, 12 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
∃𝑢 𝑥 = 𝑢 |
| 14 | | ax6ev 1969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
∃𝑣 𝑣 = 𝑦 |
| 15 | | equcom 2017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑣 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑣) |
| 16 | 15 | exbii 1848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(∃𝑣 𝑣 = 𝑦 ↔ ∃𝑣 𝑦 = 𝑣) |
| 17 | 14, 16 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
∃𝑣 𝑦 = 𝑣 |
| 18 | | idn1 44594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 ▶ 𝑦 = 𝑣 ) |
| 19 | | opeq2 4874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 = 𝑣 → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑣〉) |
| 20 | 18, 19 | e1a 44647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 ▶ 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑣〉 ) |
| 21 | | idn2 44633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 , 𝑥 = 𝑢 ▶ 𝑥 = 𝑢 ) |
| 22 | | opeq1 4873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑢 → 〈𝑥, 𝑣〉 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 23 | 21, 22 | e2 44651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 , 𝑥 = 𝑢 ▶ 〈𝑥, 𝑣〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 ) |
| 24 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑣〉 → (〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ 〈𝑥, 𝑣〉 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 25 | 24 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑣〉 → (〈𝑥, 𝑣〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 26 | 20, 23, 25 | e12 44744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 , 𝑥 = 𝑢 ▶ 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 ) |
| 27 | | eqeq2 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 28 | 27 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑢, 𝑣〉 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 29 | 26, 28 | e2 44651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 , 𝑥 = 𝑢 ▶ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) ) |
| 30 | 29 | in2 44625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( 𝑦 = 𝑣 ▶ (𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) ) |
| 31 | 30 | in1 44591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉))) |
| 32 | 31 | eximi 1835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(∃𝑣 𝑦 = 𝑣 → ∃𝑣(𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉))) |
| 33 | 17, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
∃𝑣(𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 34 | 33 | 19.37iv 1948 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑢 → ∃𝑣(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 35 | | 19.37v 1991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(∃𝑣(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) ↔ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 36 | 35 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑣(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 37 | 34, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 38 | 37 | eximi 1835 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(∃𝑢 𝑥 = 𝑢 → ∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉)) |
| 39 | 13, 38 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 40 | 39 | 19.37iv 1948 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 41 | 40 | eximi 1835 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑦∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 42 | | 19.9v 1983 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑦∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 43 | 42 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑦∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 → ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 44 | 41, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 45 | 44 | eximi 1835 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑥∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 46 | | 19.9v 1983 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑥∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 47 | 46 | biimpi 216 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑥∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 → ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 48 | 45, 47 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉) |
| 49 | 48 | ss2abi 4067 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉} ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉} |
| 50 | 9, 49 | eqsstrri 4031 |
. . . . . 6
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))} ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉} |
| 51 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑢 ∈ V |
| 52 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑣 ∈ V |
| 53 | 51, 52 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V) |
| 54 | 53 | biantru 529 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ (𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))) |
| 55 | 54 | exbii 1848 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ ∃𝑣(𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))) |
| 56 | 55 | exbii 1848 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ↔ ∃𝑢∃𝑣(𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))) |
| 57 | 56 | abbii 2809 |
. . . . . 6
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣 𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉} = {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣(𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))} |
| 58 | 50, 57 | sseqtri 4032 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))} ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣(𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))} |
| 59 | | df-opab 5206 |
. . . . 5
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V))} |
| 60 | | df-opab 5206 |
. . . . 5
⊢
{〈𝑢, 𝑣〉 ∣ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)} = {𝑧 ∣ ∃𝑢∃𝑣(𝑧 = 〈𝑢, 𝑣〉 ∧ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V))} |
| 61 | 58, 59, 60 | 3sstr4i 4035 |
. . . 4
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)} ⊆ {〈𝑢, 𝑣〉 ∣ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)} |
| 62 | | df-xp 5691 |
. . . . 5
⊢ (V
× V) = {〈𝑢,
𝑣〉 ∣ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)} |
| 63 | 62 | eqcomi 2746 |
. . . 4
⊢
{〈𝑢, 𝑣〉 ∣ (𝑢 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V)} = (V ×
V) |
| 64 | 61, 63 | sseqtri 4032 |
. . 3
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)} ⊆ (V ×
V) |
| 65 | 5, 64 | sstri 3993 |
. 2
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} ⊆ (V × V) |
| 66 | | df-rel 5692 |
. . 3
⊢ (Rel
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} ↔ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} ⊆ (V × V)) |
| 67 | 66 | biimpri 228 |
. 2
⊢
({〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} ⊆ (V × V) → Rel
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑}) |
| 68 | 65, 67 | e0a 44792 |
1
⊢ Rel
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} |