Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-ceqsalt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-ceqsalt0 34195
Description: The FOL content of ceqsalt 3527. Lemma for bj-ceqsalt 34197 and bj-ceqsaltv 34198. (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-ceqsalt0 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜑) ↔ 𝜓))

Proof of Theorem bj-ceqsalt0
StepHypRef Expression
1 simp3 1134 . . 3 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∃𝑥𝜃)
2 biimp 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
32imim3i 64 . . . . . 6 ((𝜃 → (𝜑𝜓)) → ((𝜃𝜑) → (𝜃𝜓)))
43al2imi 1812 . . . . 5 (∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) → (∀𝑥(𝜃𝜑) → ∀𝑥(𝜃𝜓)))
543ad2ant2 1130 . . . 4 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜑) → ∀𝑥(𝜃𝜓)))
6 19.23t 2206 . . . . 5 (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜃𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃𝜓)))
763ad2ant1 1129 . . . 4 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃𝜓)))
85, 7sylibd 241 . . 3 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜑) → (∃𝑥𝜃𝜓)))
91, 8mpid 44 . 2 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜑) → 𝜓))
10 biimpr 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
1110imim2i 16 . . . . . 6 ((𝜃 → (𝜑𝜓)) → (𝜃 → (𝜓𝜑)))
1211com23 86 . . . . 5 ((𝜃 → (𝜑𝜓)) → (𝜓 → (𝜃𝜑)))
1312alimi 1808 . . . 4 (∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃𝜑)))
14133ad2ant2 1130 . . 3 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃𝜑)))
15 19.21t 2202 . . . 4 (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃𝜑))))
16153ad2ant1 1129 . . 3 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃𝜑))))
1714, 16mpbid 234 . 2 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜃𝜑)))
189, 17impbid 214 1 ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃𝜑) ↔ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1083  wal 1531  wex 1776  wnf 1780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-12 2173
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-3an 1085  df-ex 1777  df-nf 1781
This theorem is referenced by:  bj-ceqsalt  34197  bj-ceqsaltv  34198  bj-ceqsalg0  34199
  Copyright terms: Public domain W3C validator