Theorem bj-ceqsalt0 37547

Description: The FOL content of ceqsalt 3487. Lemma for bj-ceqsalt 37549 and bj-ceqsaltv 37550. (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-ceqsalt0	⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) ↔ 𝜓))

Proof of Theorem bj-ceqsalt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1155	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∃𝑥𝜃)
2		biimp 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
3	2	imim3i 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → ((𝜃 → 𝜑) → (𝜃 → 𝜓)))
4	3	al2imi 1844	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → ∀𝑥(𝜃 → 𝜓)))
5	4	3ad2ant2 1151	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → ∀𝑥(𝜃 → 𝜓)))
6		19.23t 2245	. . . . 5 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜃 → 𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
7	6	3ad2ant1 1150	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
8	5, 7	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
9	1, 8	mpid 45	. 2 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → 𝜓))
10		biimpr 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
11	10	imim2i 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (𝜃 → (𝜓 → 𝜑)))
12	11	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
13	12	alimi 1840	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
14	13	3ad2ant2 1151	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
15		19.21t 2241	. . . 4 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑))))
16	15	3ad2ant1 1150	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑))))
17	14, 16	mpbid 235	. 2 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑)))
18	9, 17	impbid 215	1 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) ↔ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567  ∃wex 1808  Ⅎwnf 1812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-12 2212

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-3an 1104  df-ex 1809  df-nf 1813

This theorem is used by:  bj-ceqsalt  37549  bj-ceqsaltv  37550  bj-ceqsalg0  37551