Theorem bj-ceqsalt0 35069

Description: The FOL content of ceqsalt 3462. Lemma for bj-ceqsalt 35071 and bj-ceqsaltv 35072. (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-ceqsalt0	⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) ↔ 𝜓))

Proof of Theorem bj-ceqsalt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∃𝑥𝜃)
2		biimp 214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
3	2	imim3i 64	. . . . . 6 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → ((𝜃 → 𝜑) → (𝜃 → 𝜓)))
4	3	al2imi 1818	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → ∀𝑥(𝜃 → 𝜓)))
5	4	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → ∀𝑥(𝜃 → 𝜓)))
6		19.23t 2203	. . . . 5 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜃 → 𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
7	6	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜓) ↔ (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
8	5, 7	sylibd 238	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → (∃𝑥𝜃 → 𝜓)))
9	1, 8	mpid 44	. 2 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) → 𝜓))
10		biimpr 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
11	10	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (𝜃 → (𝜓 → 𝜑)))
12	11	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → (𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
13	12	alimi 1814	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
14	13	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → ∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)))
15		19.21t 2199	. . . 4 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑))))
16	15	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜓 → (𝜃 → 𝜑)) ↔ (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑))))
17	14, 16	mpbid 231	. 2 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (𝜓 → ∀𝑥(𝜃 → 𝜑)))
18	9, 17	impbid 211	1 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥(𝜃 → (𝜑 ↔ 𝜓)) ∧ ∃𝑥𝜃) → (∀𝑥(𝜃 → 𝜑) ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-12 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-3an 1088  df-ex 1783  df-nf 1787

This theorem is referenced by:  bj-ceqsalt  35071  bj-ceqsaltv  35072  bj-ceqsalg0  35073