Theorem disjtppr 4678

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and an unordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjtppr	⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)

Proof of Theorem disjtppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4591	. . 3 ⊢ {𝐷, 𝐸} = ({𝐷} ∪ {𝐸})
2	1	ineq2i 4117	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷} ∪ {𝐸}))
3		disjtpsn 4677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
4		disjtpsn 4677	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸}) = ∅)
5	3, 4	anim12i 625	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸}) = ∅))
6		undisj2 4419	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷} ∪ {𝐸})) = ∅)
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷} ∪ {𝐸})) = ∅)
8	2, 7	eqtrid 2810	1 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593

This theorem is used by:  cnfldfunALT  21745