Theorem cnfldfunALT 20240

Description: Alternate proof of cnfldfun 20239 (much shorter proof, using cnfldstr 20229 and structn0fun 16324: in addition, it must be shown that ∅ ∉ ℂ_fld). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfunALT	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldstr 20229	. 2 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
2		structn0fun 16324	. . 3 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		cnex 10464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
6	5	nesymi 3041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
8		addex 12237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + ∈ V
9	7, 8	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
10	9	nesymi 3041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
12		mulex 12238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · ∈ V
13	11, 12	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
14	13	nesymi 3041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15		3ioran 1099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16		0ex 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	eltp 4533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
18	15, 17	xchnxbir 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
19	6, 10, 14, 18	mpbir3an 1334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
21		cjf 14297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22		fex 6855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
23	21, 4, 22	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗ ∈ V
24	20, 23	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
25	24	necomi 3038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26		nelsn 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
28	19, 27	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
30		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
31	29, 30	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
32	31	nesymi 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
34		letsr 17666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
35	34	elexi 3456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ∈ V
36	33, 35	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
37	36	nesymi 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
39		absf 14531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
40		fex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
41	39, 4, 40	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
42		subf 10735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
43	4, 4	xpex 7333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
44		fex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ − ∈ V
46	41, 45	coex 7491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
47	38, 46	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
48	47	nesymi 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49		3ioran 1099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
50	32, 37, 48, 49	mpbir3an 1334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
51	16	eltp 4533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
52	50, 51	mtbir 324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
54		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
55	53, 54	opnzi 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
56	55	necomi 3038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57		nelsn 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
59	52, 58	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
60	28, 59	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61		ioran 978	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62		ioran 978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63		ioran 978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
64	62, 63	anbi12i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
65	61, 64	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
66	60, 65	mpbir 232	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67		df-cnfld 20228	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
68	67	eleq2i 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69		elun 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70		elun 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71		elun 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
72	70, 71	orbi12i 909	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
73	68, 69, 72	3bitri 298	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
74	66, 73	mtbir 324	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ ℂfld
75		disjsn 4554	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
76	74, 75	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77		disjdif2 4342	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
79	78	funeqi 6246	. . 3 ⊢ (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
80	2, 79	sylib 219	. 2 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun ℂfld)
81	1, 80	ax-mp 5	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∨ w3o 1079   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858  ∅c0 4211  {csn 4472  {ctp 4476  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962   × cxp 5441   ∘ ccom 5447  Fun wfun 6219  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  ℂcc 10381  ℝcr 10382  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   ≤ cle 10522   − cmin 10717  3c3 11541  ;cdc 11947  ∗ccj 14289  abscabs 14427   Struct cstr 16308  ndxcnx 16309  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  ._rcmulr 16395  *_𝑟cstv 16396  TopSetcts 16400  lecple 16401  distcds 16403  UnifSetcunif 16404   TosetRel ctsr 17638  MetOpencmopn 20217  metUnifcmetu 20218  ℂ_fldccnfld 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-ps 17639  df-tsr 17640  df-cnfld 20228

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