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Theorem cnfldfunALT 20376
Description: Alternate proof of cnfldfun 20375 (much shorter proof, using cnfldstr 20365 and structn0fun 16704: in addition, it must be shown that ∅ ∉ ℂfld). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfunALT Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALT
StepHypRef Expression
1 cnfldstr 20365 . 2 fld Struct ⟨1, 13⟩
2 structn0fun 16704 . . 3 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘ndx) ∈ V
4 cnex 10810 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
53, 4opnzi 5358 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
65nesymi 2998 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘ndx) ∈ V
8 addex 12584 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ V
97, 8opnzi 5358 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
109nesymi 2998 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘ndx) ∈ V
12 mulex 12585 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
1311, 12opnzi 5358 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
1413nesymi 2998 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15 3ioran 1108 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16 0ex 5200 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1716eltp 4604 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1815, 17xchnxbir 336 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
196, 10, 14, 18mpbir3an 1343 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (*𝑟‘ndx) ∈ V
21 cjf 14667 . . . . . . . . . . . . . 14 ∗:ℂ⟶ℂ
22 fex 7042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
2321, 4, 22mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ∗ ∈ V
2420, 23opnzi 5358 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
2524necomi 2995 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26 nelsn 4581 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
2819, 27pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopSet‘ndx) ∈ V
30 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
3129, 30opnzi 5358 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
3231nesymi 2998 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘ndx) ∈ V
34 letsr 18099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
3534elexi 3427 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
3633, 35opnzi 5358 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
3736nesymi 2998 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘ndx) ∈ V
39 absf 14901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
40 fex 7042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
4139, 4, 40mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
42 subf 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
434, 4xpex 7538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × ℂ) ∈ V
44 fex 7042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ V
4641, 45coex 7708 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ V
4738, 46opnzi 5358 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
4847nesymi 2998 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49 3ioran 1108 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5032, 37, 48, 49mpbir3an 1343 . . . . . . . . . . 11 ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
5116eltp 4604 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5250, 51mtbir 326 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (UnifSet‘ndx) ∈ V
54 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
5553, 54opnzi 5358 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
5655necomi 2995 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57 nelsn 4581 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
5952, 58pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
6028, 59pm3.2i 474 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61 ioran 984 . . . . . . . . 9 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62 ioran 984 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63 ioran 984 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6462, 63anbi12i 630 . . . . . . . . 9 ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6561, 64bitri 278 . . . . . . . 8 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6660, 65mpbir 234 . . . . . . 7 ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67 df-cnfld 20364 . . . . . . . . 9 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6867eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69 elun 4063 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70 elun 4063 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71 elun 4063 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7270, 71orbi12i 915 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7368, 69, 723bitri 300 . . . . . . 7 (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7466, 73mtbir 326 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ ℂfld
75 disjsn 4627 . . . . . 6 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
7674, 75mpbir 234 . . . . 5 (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77 disjdif2 4394 . . . . 5 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
7876, 77ax-mp 5 . . . 4 (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
7978funeqi 6401 . . 3 (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
802, 79sylib 221 . 2 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun ℂfld)
811, 80ax-mp 5 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399  wo 847  w3o 1088  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  c0 4237  {csn 4541  {ctp 4545  cop 4547   class class class wbr 5053   × cxp 5549  ccom 5555  Fun wfun 6374  wf 6376  cfv 6380  cc 10727  cr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cle 10868  cmin 11062  3c3 11886  cdc 12293  ccj 14659  abscabs 14797   Struct cstr 16699  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  *𝑟cstv 16804  TopSetcts 16808  lecple 16809  distcds 16811  UnifSetcunif 16812   TosetRel ctsr 18071  MetOpencmopn 20353  metUnifcmetu 20354  fldccnfld 20363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-cnfld 20364
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