Theorem disjtp2 4684

Description: Two completely distinct unordered triples are disjoint. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtp2	⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸, 𝐹}) = ∅)

Proof of Theorem disjtp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4596	. . 3 ⊢ {𝐷, 𝐸, 𝐹} = ({𝐷, 𝐸} ∪ {𝐹})
2	1	ineq2i 4178	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸, 𝐹}) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷, 𝐸} ∪ {𝐹}))
3		df-tp 4596	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
4	3	ineq1i 4177	. . . . 5 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷, 𝐸})
5		3simpa 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷))
6		3simpa 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) → (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸))
7		disjpr2 4681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
8	5, 6, 7	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
9	8	3adant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
10		incom 4170	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ({𝐷, 𝐸} ∩ {𝐶})
11		necom 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶)
12	11	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐷 ≠ 𝐶)
13	12	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ≠ 𝐶)
14		necom 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐸 ↔ 𝐸 ≠ 𝐶)
15	14	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐸 → 𝐸 ≠ 𝐶)
16	15	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) → 𝐸 ≠ 𝐶)
17		disjprsn 4682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ≠ 𝐶 ∧ 𝐸 ≠ 𝐶) → ({𝐷, 𝐸} ∩ {𝐶}) = ∅)
18	13, 16, 17	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸)) → ({𝐷, 𝐸} ∩ {𝐶}) = ∅)
19	18	3adant3 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐷, 𝐸} ∩ {𝐶}) = ∅)
20	10, 19	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
21	9, 20	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅))
22		undisj1 4425	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
23	21, 22	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
24	4, 23	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅)
25		disjtpsn 4683	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐹}) = ∅)
26	25	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐹}) = ∅)
27	24, 26	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐹}) = ∅))
28		undisj2 4426	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐹}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷, 𝐸} ∪ {𝐹})) = ∅)
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ ({𝐷, 𝐸} ∪ {𝐹})) = ∅)
30	2, 29	eqtrid 2816	1 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷, 𝐸, 𝐹}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ≠ wne 2964   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596

This theorem is referenced by:  hash7g  14519  cnfldfunALT  21502