Theorem disjtpsn 4611

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and a singleton. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtpsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjtpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4530	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	ineq1i 4135	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷})
3		disjprsn 4610	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
4	3	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5		disjsn2 4608	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
6	5	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
7	4, 6	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅))
8		undisj1 4369	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
10	2, 9	syl5eq 2845	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ≠ wne 2987   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530

This theorem is referenced by:  disjtp2  4612  cnfldfun  20103