Theorem disjtpsn 4683

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and a singleton. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtpsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjtpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4596	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	ineq1i 4169	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷})
3		disjprsn 4682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5		disjsn2 4680	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
7	4, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅))
8		undisj1 4422	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
10	2, 9	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ≠ wne 2960   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596

This theorem is used by:  disjtp2  4684  hash7g  14543  cnfldfunALT  21589