Theorem disjtpsn 4676

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and a singleton. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtpsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjtpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4589	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	ineq1i 4162	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷})
3		disjprsn 4675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5		disjsn2 4673	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
7	4, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅))
8		undisj1 4415	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
10	2, 9	eqtrid 2807	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ≠ wne 2955   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589

This theorem is used by:  disjtp2  4677  hash7g  14554  cnfldfunALT  21603