Theorem disjtpsn 4676

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and a singleton. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtpsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjtpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4593	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	ineq1i 4116	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷})
3		disjprsn 4675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
4	3	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5		disjsn2 4673	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
7	4, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅))
8		undisj1 4418	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
10	2, 9	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593

This theorem is used by:  disjtp2  4677  hash7g  14644  cnfldfunALT  21708