Theorem disjtpsn 4715

Description: The disjoint intersection of an unordered triple and a singleton. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjtpsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjtpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4631	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	ineq1i 4216	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷})
3		disjprsn 4714	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
4	3	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5		disjsn2 4712	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
6	5	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
7	4, 6	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅))
8		undisj1 4462	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
9	7, 8	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∩ {𝐷}) = ∅)
10	2, 9	eqtrid 2789	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ≠ wne 2940   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631

This theorem is referenced by:  disjtp2  4716  hash7g  14525  cnfldfunALT  21379  cnfldfunALTOLD  21392  cnfldfunALTOLDOLD  21393