Theorem imbi12VD 45331

Description: Implication form of imbi12i 352. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 348 is imbi12VD 45331 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 45331.

1::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
2::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
3::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4:1,3:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
5:2,4:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
6:5:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
7::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
8:1,7:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
9:2,8:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
10:9:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
11:6,10:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
12:11:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
qed:12:	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
imbi12VD	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 45072	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
2		idn1 45033	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
3		idn3 45074	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4		biimpr 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
5	4	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜒)))
6	2, 3, 5	e13 45206	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
7		biimp 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜒 → 𝜃))
8	7	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)))
9	1, 6, 8	e23 45213	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
10	9	in3 45068	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
11		idn3 45074	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
12		biimp 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
13	12	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜃)))
14	2, 11, 13	e13 45206	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
15		biimpr 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜃 → 𝜒))
16	15	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)))
17	1, 14, 16	e23 45213	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
18	17	in3 45068	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
19		impbi 210	. . . 4 ⊢ (((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)) → (((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))
20	10, 18, 19	e22 45130	. . 3 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
21	20	in2 45064	. 2 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
22	21	in1 45030	1 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-3an 1095  df-vd1 45029  df-vd2 45037  df-vd3 45049

This theorem is referenced by: (None)