Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imbi12VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imbi12VD 41517
Description: Implication form of imbi12i 354. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 350 is imbi12VD 41517 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 41517.
1:: (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
2:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   (𝜒𝜃)   )
3:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4:1,3: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
5:2,4: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
6:5: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
7:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
8:1,7: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
9:2,8: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
10:9: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
11:6,10: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
12:11: (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
qed:12: ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imbi12VD ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD
StepHypRef Expression
1 idn2 41257 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   (𝜒𝜃)   )
2 idn1 41218 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
3 idn3 41259 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4 biimpr 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
54imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜒)))
62, 3, 5e13 41392 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
7 biimp 218 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜒𝜃))
87imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜃)))
91, 6, 8e23 41399 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
109in3 41253 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
11 idn3 41259 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
12 biimp 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜃)))
142, 11, 13e13 41392 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
15 biimpr 223 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜃𝜒))
1615imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜒)))
171, 14, 16e23 41399 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
1817in3 41253 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
19 impbi 211 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃)) → (((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
2010, 18, 19e22 41315 . . 3 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
2120in2 41249 . 2 (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
2221in1 41215 1 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-3an 1086  df-vd1 41214  df-vd2 41222  df-vd3 41234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator