Theorem imbi12VD 40046

Description: Implication form of imbi12i 342. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 338 is imbi12VD 40046 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 40046.

1::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
2::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
3::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4:1,3:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
5:2,4:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
6:5:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
7::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
8:1,7:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
9:2,8:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
10:9:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
11:6,10:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
12:11:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
qed:12:	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
imbi12VD	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 39786	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
2		idn1 39738	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
3		idn3 39788	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4		biimpr 212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
5	4	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜒)))
6	2, 3, 5	e13 39921	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
7		biimp 207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜒 → 𝜃))
8	7	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)))
9	1, 6, 8	e23 39928	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
10	9	in3 39782	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
11		idn3 39788	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
12		biimp 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
13	12	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜃)))
14	2, 11, 13	e13 39921	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
15		biimpr 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜃 → 𝜒))
16	15	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)))
17	1, 14, 16	e23 39928	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
18	17	in3 39782	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
19		impbi 200	. . . 4 ⊢ (((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)) → (((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))
20	10, 18, 19	e22 39844	. . 3 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
21	20	in2 39778	. 2 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
22	21	in1 39735	1 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-3an 1073  df-vd1 39734  df-vd2 39742  df-vd3 39754

This theorem is referenced by: (None)