Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imbi12VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imbi12VD 41084
Description: Implication form of imbi12i 352. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 348 is imbi12VD 41084 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 41084.
1:: (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
2:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   (𝜒𝜃)   )
3:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4:1,3: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
5:2,4: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
6:5: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
7:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
8:1,7: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
9:2,8: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
10:9: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
11:6,10: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
12:11: (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
qed:12: ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imbi12VD ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD
StepHypRef Expression
1 idn2 40824 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   (𝜒𝜃)   )
2 idn1 40785 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
3 idn3 40826 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4 biimpr 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
54imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜒)))
62, 3, 5e13 40959 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
7 biimp 216 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜒𝜃))
87imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜃)))
91, 6, 8e23 40966 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
109in3 40820 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
11 idn3 40826 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
12 biimp 216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜃)))
142, 11, 13e13 40959 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
15 biimpr 221 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜃𝜒))
1615imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜒)))
171, 14, 16e23 40966 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
1817in3 40820 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
19 impbi 209 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃)) → (((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
2010, 18, 19e22 40882 . . 3 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
2120in2 40816 . 2 (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
2221in1 40782 1 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-3an 1081  df-vd1 40781  df-vd2 40789  df-vd3 40801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator