Theorem imbi12VD 46044

Description: Implication form of imbi12i 353. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 349 is imbi12VD 46044 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 46044.

1::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
2::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
3::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4:1,3:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
5:2,4:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
6:5:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
7::	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
8:1,7:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
9:2,8:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
10:9:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
11:6,10:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)    ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
12:11:	⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
qed:12:	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
imbi12VD	⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 45785	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   (𝜒 ↔ 𝜃)   )
2		idn1 45746	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   (𝜑 ↔ 𝜓)   )
3		idn3 45787	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
4		biimpr 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
5	4	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜒)))
6	2, 3, 5	e13 45919	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜒)   )
7		biimp 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜒 → 𝜃))
8	7	imim2d 58	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜓 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)))
9	1, 6, 8	e23 45926	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜑 → 𝜒)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
10	9	in3 45781	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃))   )
11		idn3 45787	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜓 → 𝜃)   )
12		biimp 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
13	12	imim1d 83	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜃)))
14	2, 11, 13	e13 45919	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜃)   )
15		biimpr 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → (𝜃 → 𝜒))
16	15	imim2d 58	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)))
17	1, 14, 16	e23 45926	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ,   (𝜓 → 𝜃)   ▶   (𝜑 → 𝜒)   )
18	17	in3 45781	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒))   )
19		impbi 211	. . . 4 ⊢ (((𝜑 → 𝜒) → (𝜓 → 𝜃)) → (((𝜓 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜒)) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))
20	10, 18, 19	e22 45843	. . 3 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ,   (𝜒 ↔ 𝜃)   ▶   ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))   )
21	20	in2 45777	. 2 ⊢ (   (𝜑 ↔ 𝜓)   ▶   ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃)))   )
22	21	in1 45743	1 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → ((𝜒 ↔ 𝜃) → ((𝜑 → 𝜒) ↔ (𝜓 → 𝜃))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-vd1 45742  df-vd2 45750  df-vd3 45762

This theorem is used by: (None)