Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imbi12VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imbi12VD 44893
Description: Implication form of imbi12i 350. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. imbi12 346 is imbi12VD 44893 without virtual deductions and was automatically derived from imbi12VD 44893.
1:: (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
2:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   (𝜒𝜃)   )
3:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4:1,3: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
5:2,4: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑 𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
6:5: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
7:: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
8:1,7: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
9:2,8: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓 𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
10:9: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
11:6,10: (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)    ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
12:11: (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
qed:12: ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imbi12VD ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))

Proof of Theorem imbi12VD
StepHypRef Expression
1 idn2 44633 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   (𝜒𝜃)   )
2 idn1 44594 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ▶   (𝜑𝜓)   )
3 idn3 44635 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜑𝜒)   )
4 biimpr 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜓𝜑))
54imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜒)))
62, 3, 5e13 44768 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜒)   )
7 biimp 215 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜒𝜃))
87imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜃)))
91, 6, 8e23 44775 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜑𝜒)   ▶   (𝜓𝜃)   )
109in3 44629 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃))   )
11 idn3 44635 . . . . . . 7 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜓𝜃)   )
12 biimp 215 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
1312imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜃)))
142, 11, 13e13 44768 . . . . . 6 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜃)   )
15 biimpr 220 . . . . . . 7 ((𝜒𝜃) → (𝜃𝜒))
1615imim2d 57 . . . . . 6 ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜒)))
171, 14, 16e23 44775 . . . . 5 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ,   (𝜓𝜃)   ▶   (𝜑𝜒)   )
1817in3 44629 . . . 4 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒))   )
19 impbi 208 . . . 4 (((𝜑𝜒) → (𝜓𝜃)) → (((𝜓𝜃) → (𝜑𝜒)) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
2010, 18, 19e22 44691 . . 3 (   (𝜑𝜓)   ,   (𝜒𝜃)   ▶   ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))   )
2120in2 44625 . 2 (   (𝜑𝜓)   ▶   ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃)))   )
2221in1 44591 1 ((𝜑𝜓) → ((𝜒𝜃) → ((𝜑𝜒) ↔ (𝜓𝜃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-vd1 44590  df-vd2 44598  df-vd3 44610
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator