Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elin 3860 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))) |
2 | | eldif 3854 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
3 | 2 | anbi2i 626 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))) |
4 | | abai 826 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))) |
5 | 4 | anbi2i 626 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
6 | | an12 645 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))) |
7 | | eldif 3854 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))) |
8 | | elin 3860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
9 | 8 | bicomi 227 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) |
10 | | imnan 403 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
11 | | elin 3860 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) |
12 | 10, 11 | xchbinxr 338 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) |
13 | 9, 12 | anbi12i 630 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))) |
14 | | an21 644 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
15 | 7, 13, 14 | 3bitr2i 302 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))) |
16 | 5, 6, 15 | 3bitr4i 306 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶))) |
17 | 1, 3, 16 | 3bitri 300 |
. 2
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶))) |
18 | 17 | eqriv 2735 |
1
⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ (𝐴 ∩ 𝐶)) |