Theorem inn0f 4306

Description: A nonempty intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inn0f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
inn0f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
inn0f	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem inn0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	exbii 1855	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		inn0f.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		inn0f.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	3, 4	nfin 4160	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∩ 𝐵)
6	5	n0f 4284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
7		df-rex 3065	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	2, 6, 7	3bitr4i 304	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∩ cin 3889  ∅c0 4268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-rex 3065  df-v 3434  df-dif 3893  df-in 3897  df-nul 4269

This theorem is referenced by:  inn0  4307