Theorem ixpssmapc 44215

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpssmapc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
ixpssmapc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ixpssmapc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapc	⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmapc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpssmapc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		ixpssmapc.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		ixpssmapc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	3	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
5	2, 4	ralrimi 3246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
6		iunss 5038	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
7	5, 6	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
8	1, 7	ssexd 5314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ixpssmap2g 8916	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
11		mapss 8878	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))
12	1, 7, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))
13	10, 12	sstrd 3984	1 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∪ ciun 4987  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8815  Xcixp 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8817  df-ixp 8887

This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  45471