Theorem ixpssmapc 45067

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpssmapc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
ixpssmapc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ixpssmapc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmapc	⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmapc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpssmapc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2		ixpssmapc.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		ixpssmapc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	3	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
5	2, 4	ralrimi 3235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
6		iunss 5009	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
7	5, 6	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
8	1, 7	ssexd 5279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
9		ixpssmap2g 8900	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
11		mapss 8862	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶) → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))
13	10, 12	sstrd 3957	1 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∪ ciun 4955  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Xcixp 8870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-ixp 8871

This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  46302