Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ixpssmapc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpssmapc 43694
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpssmapc.x 𝑥𝜑
ixpssmapc.c (𝜑𝐶𝑉)
ixpssmapc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
ixpssmapc (𝜑X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶m 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmapc
StepHypRef Expression
1 ixpssmapc.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
2 ixpssmapc.x . . . . . 6 𝑥𝜑
3 ixpssmapc.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
43ex 414 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵𝐶))
52, 4ralrimi 3255 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
6 iunss 5047 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
75, 6sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
81, 7ssexd 5323 . . 3 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ixpssmap2g 8917 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
108, 9syl 17 . 2 (𝜑X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴))
11 mapss 8879 . . 3 ((𝐶𝑉 𝑥𝐴 𝐵𝐶) → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ⊆ (𝐶m 𝐴))
121, 7, 11syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ( 𝑥𝐴 𝐵m 𝐴) ⊆ (𝐶m 𝐴))
1310, 12sstrd 3991 1 (𝜑X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐶m 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3947   ciun 4996  (class class class)co 7404  m cmap 8816  Xcixp 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8818  df-ixp 8888
This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  44955
  Copyright terms: Public domain W3C validator