Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-mulassocd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-mulassocd 42542
Description: MultiplicationAssociativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-mulassocd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
int-mulassocd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
int-mulassocd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
int-mulassocd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
int-mulassocd (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ท))

Proof of Theorem int-mulassocd
StepHypRef Expression
1 int-mulassocd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 11191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 int-mulassocd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
43recnd 11191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 int-mulassocd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
65recnd 11191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
72, 4, 6mulassd 11186 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐ท) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ท)))
8 int-mulassocd.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
98eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ด)
109oveq1d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
1110oveq1d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐ท) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ท))
127, 11eqtr3d 2775 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   ยท cmul 11064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-resscn 11116  ax-mulass 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator