Theorem int-mulassocd 45270

Description: MultiplicationAssociativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mulassocd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-mulassocd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-mulassocd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-mulassocd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mulassocd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐷))

Proof of Theorem int-mulassocd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mulassocd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-mulassocd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-mulassocd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	mulassd 11335	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) · 𝐷) = (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))
8		int-mulassocd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
9	8	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
10	9	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
11	10	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐷))
12	7, 11	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-resscn 11260  ax-mulass 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by: (None)