![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-mulcomd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-mulcomd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-mulcomd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-mulcomd.3 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-mulcomd | โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-mulcomd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11191 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | int-mulcomd.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11191 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
5 | 2, 4 | mulcomd 11184 | . 2 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
6 | int-mulcomd.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
7 | 6 | eqcomd 2739 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
8 | 7 | oveq2d 7377 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
9 | 5, 8 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 โcr 11058 ยท cmul 11064 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2704 ax-resscn 11116 ax-mulcom 11123 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-rab 3407 df-v 3449 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-iota 6452 df-fv 6508 df-ov 7364 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |