Theorem int-mulcomd 44158

Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mulcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-mulcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-mulcomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mulcomd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Proof of Theorem int-mulcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mulcomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-mulcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
6		int-mulcomd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
7	6	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
8	7	oveq2d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   · cmul 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-resscn 11131  ax-mulcom 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392

This theorem is referenced by: (None)