![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-mulcomd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-mulcomd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-mulcomd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-mulcomd.3 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-mulcomd | โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-mulcomd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11246 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | int-mulcomd.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11246 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
5 | 2, 4 | mulcomd 11239 | . 2 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
6 | int-mulcomd.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
7 | 6 | eqcomd 2732 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
8 | 7 | oveq2d 7421 | . 2 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
9 | 5, 8 | eqtrd 2766 | 1 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcr 11111 ยท cmul 11117 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2697 ax-resscn 11169 ax-mulcom 11176 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-rab 3427 df-v 3470 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-iota 6489 df-fv 6545 df-ov 7408 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |