Theorem int-mulcomd 40522

Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mulcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-mulcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-mulcomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mulcomd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Proof of Theorem int-mulcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mulcomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-mulcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 10656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
6		int-mulcomd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
7	6	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
8	7	oveq2d 7166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   · cmul 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-resscn 10588  ax-mulcom 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-iota 6308  df-fv 6357  df-ov 7153

This theorem is referenced by: (None)