Theorem int-mulcomd 44188

Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mulcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-mulcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-mulcomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mulcomd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Proof of Theorem int-mulcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mulcomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-mulcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
6		int-mulcomd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
7	6	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
8	7	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℝcr 10997   · cmul 11003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-resscn 11055  ax-mulcom 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344

This theorem is referenced by: (None)