Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-mulcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-mulcomd 42541
Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-mulcomd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
int-mulcomd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
int-mulcomd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
int-mulcomd (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))

Proof of Theorem int-mulcomd
StepHypRef Expression
1 int-mulcomd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 11191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 int-mulcomd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
43recnd 11191 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcomd 11184 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
6 int-mulcomd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
76eqcomd 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ด)
87oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด))
95, 8eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   ยท cmul 11064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-resscn 11116  ax-mulcom 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-iota 6452  df-fv 6508  df-ov 7364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator