Theorem int-mulcomd 44140

Description: MultiplicationCommutativity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-mulcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-mulcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-mulcomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-mulcomd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Proof of Theorem int-mulcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-mulcomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11320	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-mulcomd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11320	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcomd 11313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
6		int-mulcomd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
7	6	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
8	7	oveq2d 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7450  ℝcr 11185   · cmul 11191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-resscn 11243  ax-mulcom 11250

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6527  df-fv 6583  df-ov 7453

This theorem is referenced by: (None)