Theorem po3nr 5578

Description: A partial order has no 3-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
po3nr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Proof of Theorem po3nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		po2nr 5577	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
2	1	3adantr2 1189	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
3		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) ↔ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵))
4		potr 5576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))
5	4	anim1d 623	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
6	3, 5	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
7	2, 6	mtod 201	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   Po wpo 5561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-po 5563

This theorem is used by:  so3nr  5592