Theorem potr 5583

Description: A partial order is a transitive relation. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
potr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem potr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pocl 5578	. . 3 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))))
2	1	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷)))
3	2	simprd 500	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113   Po wpo 5568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-po 5570

This theorem is referenced by:  po2nr  5584  po3nr  5585  pofun  5588  sotr  5595  poltletr  6133  frpomin  6342  poxp  8123  poxp2  8138  poxp3  8145  poseq  8153  fprlem2  8297  frfi  9244  wemaplem2  9508  sornom  10260  zorn2lem7  10485  pospo  18398  chnub  18677  pocnv  36153  weiunpo  36864  seqpo  38285  oneptr  43873