Theorem ralfal 45347

Description: Two ways of expressing empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralfal.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ralfal	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥)

Proof of Theorem ralfal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fal 1554	. . . 4 ⊢ (⊥ ↔ ¬ ⊤)
2	1	ralbii 3080	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ⊤)
3		ralnex 3060	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ⊤ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
5		rextru 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
6	5	notbii 320	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
7		ralfal.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8	7	neq0f 4298	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
10	4, 6, 9	3bitr2ri 300	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541  ⊤wtru 1542  ⊥wfal 1553  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ∅c0 4283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-dif 3902  df-nul 4284

This theorem is referenced by: (None)