Theorem ralfal 45133

Description: Two ways of expressing empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralfal.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
ralfal	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥)

Proof of Theorem ralfal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fal 1553	. . . 4 ⊢ (⊥ ↔ ¬ ⊤)
2	1	ralbii 3082	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ⊤)
3		ralnex 3062	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ⊤ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
5		rextru 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
6	5	notbii 320	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
7		ralfal.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8	7	neq0f 4323	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	con1bii 356	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
10	4, 6, 9	3bitr2ri 300	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541  ⊥wfal 1552  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-dif 3929  df-nul 4309

This theorem is referenced by: (None)