Theorem sotrd 5593

Description: Transitivity law for strict orderings, deduction form. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sotrd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
sotrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sotrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sotrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
sotrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑅𝑌)
sotrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌𝑅𝑍)

Assertion

Ref	Expression
sotrd	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑅𝑍)

Proof of Theorem sotrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sotrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑅𝑌)
2		sotrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌𝑅𝑍)
3		sotrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sotrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		sotrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
6		sotrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
7		sotr 5592	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴)) → ((𝑋𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑍) → 𝑋𝑅𝑍))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅𝑌 ∧ 𝑌𝑅𝑍) → 𝑋𝑅𝑍))
9	1, 2, 8	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑅𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   Or wor 5566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-po 5567  df-so 5568

This theorem is used by:  ormkglobd  47692