Theorem sotr 5633

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 21-Jan-1996.)

Assertion

Ref	Expression
sotr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem sotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5627	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		potr 5621	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   Po wpo 5605   Or wor 5606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-po 5607  df-so 5608

This theorem is referenced by:  sotr2  5641  sotr3  5648  wetrep  5693  wereu2  5697  sotri  6159  suplub2  9530  slttr  27810  sotrd  35727  weiunpo  36431  fin2solem  37566