Theorem vfin1cltv 4548

Description: If the universe is finite, then 1_c is strictly smaller than the universe. Theorem X.1.57 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfin1cltv	⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin )

Proof of Theorem vfin1cltv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncompl 4075	. . . . 5 ⊢ (1c ∪ ∼ 1c) = V
2		ncfineq 4474	. . . . 5 ⊢ ((1c ∪ ∼ 1c) = V → Ncfin (1c ∪ ∼ 1c) = Ncfin V)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Ncfin (1c ∪ ∼ 1c) = Ncfin V
4		1cex 4143	. . . . 5 ⊢ 1c ∈ V
5	4	complex 4105	. . . . . 6 ⊢ ∼ 1c ∈ V
6		incompl 4074	. . . . . 6 ⊢ (1c ∩ ∼ 1c) = ∅
7		ncfindi 4476	. . . . . 6 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) ∧ ∼ 1c ∈ V ∧ (1c ∩ ∼ 1c) = ∅) → Ncfin (1c ∪ ∼ 1c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))
8	5, 6, 7	mp3an23 1269	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) → Ncfin (1c ∪ ∼ 1c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))
9	4, 8	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin (1c ∪ ∼ 1c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))
10	3, 9	syl5reqr 2400	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) = Ncfin V)
11	10	opkeq2d 4067	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ = ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫)
12		0nel1c 4160	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ 1c
13		0ex 4111	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
14	13	elcompl 3226	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ∼ 1c ↔ ¬ ∅ ∈ 1c)
15	12, 14	mpbir 200	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ∼ 1c
16		n0i 3556	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ∼ 1c → ¬ ∼ 1c = ∅)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ ∼ 1c = ∅
18		ncfinprop 4475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ ∼ 1c ∈ V) → ( Ncfin ∼ 1c ∈ Nn ∧ ∼ 1c ∈ Ncfin ∼ 1c))
19	5, 18	mpan2 652	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin ∼ 1c ∈ Nn ∧ ∼ 1c ∈ Ncfin ∼ 1c))
20	19	simprd 449	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ∼ 1c ∈ Ncfin ∼ 1c)
21		eleq2 2414	. . . . . . 7 ⊢ (0c = Ncfin ∼ 1c → ( ∼ 1c ∈ 0c ↔ ∼ 1c ∈ Ncfin ∼ 1c))
22	20, 21	syl5ibrcom 213	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → (0c = Ncfin ∼ 1c → ∼ 1c ∈ 0c))
23		el0c 4422	. . . . . 6 ⊢ ( ∼ 1c ∈ 0c ↔ ∼ 1c = ∅)
24	22, 23	syl6ib 217	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (0c = Ncfin ∼ 1c → ∼ 1c = ∅))
25	17, 24	mtoi 169	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → ¬ 0c = Ncfin ∼ 1c)
26		addcid1 4406	. . . . . 6 ⊢ ( Ncfin 1c +c 0c) = Ncfin 1c
27	26	eqeq1i 2360	. . . . 5 ⊢ (( Ncfin 1c +c 0c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ↔ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))
28		ncfinprop 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
29	4, 28	mpan2 652	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
30	29	simpld 445	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin 1c ∈ Nn )
31		peano1 4403	. . . . . . 7 ⊢ 0c ∈ Nn
32	31	a1i 10	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → 0c ∈ Nn )
33	19	simpld 445	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin ∼ 1c ∈ Nn )
34	26	a1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c +c 0c) = Ncfin 1c)
35	29	simprd 449	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → 1c ∈ Ncfin 1c)
36		ne0i 3557	. . . . . . . 8 ⊢ (1c ∈ Ncfin 1c → Ncfin 1c ≠ ∅)
37	35, 36	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin 1c ≠ ∅)
38	34, 37	eqnetrd 2535	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c +c 0c) ≠ ∅)
39		preaddccan2 4456	. . . . . 6 ⊢ ((( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 0c ∈ Nn ∧ Ncfin ∼ 1c ∈ Nn ) ∧ ( Ncfin 1c +c 0c) ≠ ∅) → (( Ncfin 1c +c 0c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ↔ 0c = Ncfin ∼ 1c))
40	30, 32, 33, 38, 39	syl31anc 1185	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (( Ncfin 1c +c 0c) = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ↔ 0c = Ncfin ∼ 1c))
41	27, 40	syl5bbr 250	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ↔ 0c = Ncfin ∼ 1c))
42	25, 41	mtbird 292	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → ¬ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))
43		ncfinex 4473	. . . . . . 7 ⊢ Ncfin 1c ∈ V
44		lefinaddc 4451	. . . . . . 7 ⊢ (( Ncfin 1c ∈ V ∧ Ncfin ∼ 1c ∈ Nn ) → ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ ≤fin )
45	43, 33, 44	sylancr 644	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ ≤fin )
46		ncfinex 4473	. . . . . . . . 9 ⊢ Ncfin ∼ 1c ∈ V
47	43, 46	addcex 4395	. . . . . . . 8 ⊢ ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ∈ V
48		lefinlteq 4464	. . . . . . . 8 ⊢ (( Ncfin 1c ∈ V ∧ ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ∈ V ∧ Ncfin 1c ≠ ∅) → (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ ≤fin ↔ (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ∨ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))))
49	43, 47, 48	mp3an12 1267	. . . . . . 7 ⊢ ( Ncfin 1c ≠ ∅ → (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ ≤fin ↔ (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ∨ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))))
50	37, 49	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ ≤fin ↔ (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ∨ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c))))
51	45, 50	mpbid 201	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ∨ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)))
52	51	orcomd 377	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) ∨ ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ))
53	52	ord 366	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → (¬ Ncfin 1c = ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c) → ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin ))
54	42, 53	mpd 14	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, ( Ncfin 1c +c Ncfin ∼ 1c)⟫ ∈ <fin )
55	11, 54	eqeltrrd 2428	1 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3551  ⟪copk 4058  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376   Fin cfin 4377   ≤_fin clefin 4433   <_fin cltfin 4434   Nc_fin cncfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443

This theorem is referenced by:  vfinncvntnn  4549