Theorem reuss2 3535

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	⊢ (((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B ψ)) → ∃!x ∈ A φ)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(x)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2620	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
2		df-reu 2621	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ B ψ ↔ ∃!x(x ∈ B ∧ ψ))
3	1, 2	anbi12i 678	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ ψ)))
4		df-ral 2619	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ A (φ → ψ) ↔ ∀x(x ∈ A → (φ → ψ)))
5		ssel 3267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ B → (x ∈ A → x ∈ B))
6		prth 554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (φ → ψ)) → ((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ)))
7	5, 6	sylan 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (φ → ψ)) → ((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ)))
8	7	exp4b 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ B → ((φ → ψ) → (x ∈ A → (φ → (x ∈ B ∧ ψ)))))
9	8	com23 72	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ B → (x ∈ A → ((φ → ψ) → (φ → (x ∈ B ∧ ψ)))))
10	9	a2d 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ B → ((x ∈ A → (φ → ψ)) → (x ∈ A → (φ → (x ∈ B ∧ ψ)))))
11	10	imp4a 572	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ B → ((x ∈ A → (φ → ψ)) → ((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ))))
12	11	alimdv 1621	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ B → (∀x(x ∈ A → (φ → ψ)) → ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ))))
13	12	imp 418	. . . . . . 7 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ∀x(x ∈ A → (φ → ψ))) → ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ)))
14	4, 13	sylan2b 461	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) → ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ)))
15		euimmo 2253	. . . . . 6 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ B ∧ ψ)) → (∃!x(x ∈ B ∧ ψ) → ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
16	14, 15	syl 15	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) → (∃!x(x ∈ B ∧ ψ) → ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
17		eu5 2242	. . . . . 6 ⊢ (∃!x(x ∈ A ∧ φ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃*x(x ∈ A ∧ φ)))
18	17	simplbi2 608	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ φ) → (∃*x(x ∈ A ∧ φ) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ)))
19	16, 18	syl9 66	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) → (∃x(x ∈ A ∧ φ) → (∃!x(x ∈ B ∧ ψ) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ))))
20	19	imp32 422	. . 3 ⊢ (((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ∧ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ ψ))) → ∃!x(x ∈ A ∧ φ))
21		df-reu 2621	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A φ ↔ ∃!x(x ∈ A ∧ φ))
22	20, 21	sylibr 203	. 2 ⊢ (((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ∧ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃!x(x ∈ B ∧ ψ))) → ∃!x ∈ A φ)
23	3, 22	sylan2b 461	1 ⊢ (((A ⊆ B ∧ ∀x ∈ A (φ → ψ)) ∧ (∃x ∈ A φ ∧ ∃!x ∈ B ψ)) → ∃!x ∈ A φ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710  ∃!weu 2204  ∃*wmo 2205  ∀wral 2614  ∃wrex 2615  ∃!wreu 2616   ⊆ wss 3257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-ss 3259

This theorem is referenced by:  reuss  3536  reuun1  3537