Theorem abn0 4336

Description: Nonempty class abstraction. See also ab0 4333. (Contributed by NM, 26-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abn0	⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)

Proof of Theorem abn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfab1 2979	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜑}
2	1	n0f 4307	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
3		abid 2803	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
4	3	exbii 1848	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥𝜑)
5	2, 4	bitri 277	1 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 208  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799   ≠ wne 3016  ∅c0 4291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-dif 3939  df-nul 4292

This theorem is referenced by:  intexab  5242  iinexg  5244  relimasn  5952  inisegn0  5961  mapprc  8410  modom  8719  tz9.1c  9172  scott0  9315  scott0s  9317  cp  9320  karden  9324  acnrcl  9468  aceq3lem  9546  cff  9670  cff1  9680  cfss  9687  domtriomlem  9864  axdclem  9941  nqpr  10436  supadd  11609  supmul  11613  hashf1lem2  13815  hashf1  13816  mreiincl  16867  efgval  18843  efger  18844  birthdaylem3  25531  disjex  30342  disjexc  30343  mppsval  32819  mblfinlem3  34946  ismblfin  34948  itg2addnc  34961  sdclem1  35033  upbdrech  41592