Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adj2 29100
 Description: Property of an adjoint Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adj2 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem adj2
StepHypRef Expression
1 adj1 29099 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴))
2 simp2 1132 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
3 dmadjop 29054 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
43ffvelrnda 6520 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
543adant2 1126 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
6 ax-his1 28246 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)))
72, 5, 6syl2anc 696 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)))
8 adjcl 29098 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
983adant3 1127 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
10 simp3 1133 . . . . 5 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
11 ax-his1 28246 . . . . 5 ((((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
129, 10, 11syl2anc 696 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((adj𝑇)‘𝐵) ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
131, 7, 123eqtr3d 2800 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
14 hicl 28244 . . . . 5 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
155, 2, 14syl2anc 696 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
16 hicl 28244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
1710, 9, 16syl2anc 696 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ)
18 cj11 14099 . . . 4 ((((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)) ∈ ℂ) → ((∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
1915, 17, 18syl2anc 696 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵))))
2013, 19mpbid 222 . 2 ((𝑇 ∈ dom adj𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))
21203com23 1121 1 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((adj𝑇)‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  dom cdm 5264  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℂcc 10124  ∗ccj 14033   ℋchil 28083   ·ih csp 28086  adjℎcado 28119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-hilex 28163  ax-hfvadd 28164  ax-hvcom 28165  ax-hvass 28166  ax-hv0cl 28167  ax-hvaddid 28168  ax-hfvmul 28169  ax-hvmulid 28170  ax-hvdistr2 28173  ax-hvmul0 28174  ax-hfi 28243  ax-his1 28246  ax-his2 28247  ax-his3 28248  ax-his4 28249 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-2 11269  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-hvsub 28135  df-adjh 29015 This theorem is referenced by:  adjadj  29102  adjvalval  29103  adjlnop  29252  adjmul  29258  adjadd  29259  adjcoi  29266  nmopcoadji  29267
 Copyright terms: Public domain W3C validator