Theorem ascldimulOLD 20117

Description: Obsolete version of ascldimul 20116 as of 5-Nov-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimulOLD	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimulOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assaring 20093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
2		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
4	2, 3	ringidcl 19318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6		ascldimul.t	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑊)
7	2, 6, 3	ringlidm 19321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
8	1, 5, 7	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → ((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
9	8	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
10	9	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
11	10	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
12		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ AssAlg)
13		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
14	5	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15		assalmod 20092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
16	15	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
18		ascldimul.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
19		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20		ascldimul.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	2, 18, 19, 20	lmodvscl 19651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
22	16, 17, 14, 21	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
23	2, 18, 20, 19, 6	assaass 20090	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
24	12, 13, 14, 22, 23	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
25	2, 18, 20, 19, 6	assaassr 20091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
26	12, 17, 14, 14, 25	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊))))
27	26	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
28	24, 27	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)((1r‘𝑊) × (1r‘𝑊)))))
29		ascldimul.s	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝐹)
30	2, 18, 19, 20, 29	lmodvsass 19659	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
31	16, 13, 17, 14, 30	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
32	11, 28, 31	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	18	assasca 20094	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
34		crngring 19308	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
36	20, 29	ringcl 19311	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
37	35, 36	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
38		ascldimul.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
39	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20109	. . 3 ⊢ ((𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾 → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
40	37, 39	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
41	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20109	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
42	13, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
43	38, 18, 20, 19, 3	asclval 20109	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐾 → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
44	17, 43	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
45	42, 44	oveq12d 7174	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = ((𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) × (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
46	32, 40, 45	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  LModclmod 19634  AssAlgcasa 20082  algSccascl 20084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-lmod 19636  df-assa 20085  df-ascl 20087

This theorem is referenced by: (None)