MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgb 14200
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caucvgb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5225 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 254 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 4574 . . . . 5 (𝐹𝑚 ↔ ⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 785 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 1rp 11664 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 1 ∈ ℝ+)
8 eqidd 2606 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝐹𝑚)
104, 5, 7, 8, 9climi 14031 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1))
11 simpl 471 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211ralimi 2931 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312reximi 2989 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514ex 448 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝑚 → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
163, 15syl5bir 231 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1716exlimdv 1846 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
182, 17syl5 33 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 simpl 471 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2019ralimi 2931 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2120reximi 2989 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2221ralimi 2931 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
23 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑛 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑛))
2423raleqdv 3116 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
2524cbvrexv 3143 . . . . . 6 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
2726rspcv 3273 . . . 4 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
286, 22, 27mpsyl 65 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
30 eluzelz 11525 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
3130, 4eleq2s 2701 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
32 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3332climcau 14191 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3431, 33sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3532r19.29uz 13880 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ex 448 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3736ralimdv 2941 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3834, 37mpan9 484 . . . . . . 7 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938an32s 841 . . . . . 6 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4039adantll 745 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
41 simplrr 796 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
42 fveq2 6084 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
4342eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
4443rspccva 3276 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
4541, 44sylan 486 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
46 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4746ralimi 2931 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4842oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)))
4948fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
5049breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5150cbvralv 3142 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5247, 51sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5352reximi 2989 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5453ralimi 2931 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5554adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
56 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
57 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑖))
5857oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖)))
5958fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))))
6059breq1d 4583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6156, 60raleqbidv 3124 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6261cbvrexv 3143 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
63 breq2 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6463rexralbidv 3035 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6562, 64syl5bb 270 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6665cbvralv 3142 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
6755, 66sylib 206 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
68 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹𝑉)
6932, 45, 67, 68caucvg 14199 . . . . . 6 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7069adantlll 749 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7140, 70impbida 872 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
724, 32cau4 13886 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7372ad2antrl 759 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7471, 73bitr4d 269 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7574rexlimdvaa 3009 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
7618, 29, 75pm5.21ndd 367 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892  cop 4126   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  1c1 9789   < clt 9926  cmin 10113  cz 11206  cuz 11515  +crp 11660  abscabs 13764  cli 14005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-ico 12004  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010
This theorem is referenced by:  serf0  14201
  Copyright terms: Public domain W3C validator