Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caures 33686
Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
Assertion
Ref Expression
caures (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caures.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
21uztrn2 11743 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
32adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43biantrurd 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5 dmres 5454 . . . . . . . . 9 dom (𝐹𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
65elin2 3834 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ↔ (𝑘𝑍𝑘 ∈ dom 𝐹))
74, 6syl6bbr 278 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍)))
873anbi1d 1443 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
98ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
109rexbidva 3078 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
1110ralbidv 3015 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
12 caures.5 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1312biantrurd 528 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
14 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 elfvdm 6258 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ dom Met)
17 cnex 10055 . . . . . 6 ℂ ∈ V
18 ssid 3657 . . . . . . 7 𝑋𝑋
19 uzssz 11745 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
20 zsscn 11423 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3645 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
221, 21eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
23 pmss12g 7926 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2418, 22, 23mpanl12 718 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
2516, 17, 24sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm 𝑍) ⊆ (𝑋pm ℂ))
26 fvex 6239 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
271, 26eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
28 pmresg 7927 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
2927, 12, 28sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm 𝑍))
3025, 29sseldd 3637 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ))
3130biantrurd 528 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
3211, 13, 313bitr3d 298 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
33 metxmet 22186 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3414, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
35 caures.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
36 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
37 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
381, 34, 35, 36, 37iscau4 23123 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
39 fvres 6245 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4039adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
41 fvres 6245 . . . 4 (𝑗𝑍 → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
4241adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑍)‘𝑗) = (𝐹𝑗))
431, 34, 35, 40, 42iscau4 23123 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹𝑍) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
4432, 38, 433bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  pm cpm 7900  cc 9972   < clt 10112  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  Caucca 23097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-cau 23100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator