Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geomcau 32524
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6 (𝜑𝐵 < 1)
geomcau.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geomcau (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11551 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11237 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 geomcau.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpcnd 11702 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53rpred 11700 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
63rpge0d 11704 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75, 6absidd 13951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8 geomcau.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 1)
97, 8eqbrtrd 4595 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
104, 9expcnv 14377 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) ⇝ 0)
11 geomcau.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
12 1re 9891 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
13 resubcl 10192 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
1412, 5, 13sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15 posdif 10366 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
165, 12, 15sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
178, 16mpbid 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
1814, 17elrpd 11697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
1911, 18rerpdivcld 11731 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2019recnd 9920 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21 nnex 10869 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
2221mptex 6364 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24 nnnn0 11142 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2524adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
27 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))
28 ovex 6551 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑛) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6172 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
31 nnz 11228 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32 rpexpcl 12692 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
333, 31, 32syl2an 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 11702 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
3530, 34eqeltrd 2683 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
3620adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
3734, 36mulcomd 9913 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
3826oveq1d 6538 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40 ovex 6551 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6172 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4241adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4330oveq2d 6539 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
4437, 42, 433eqtr4d 2649 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)))
451, 2, 10, 20, 23, 35, 44climmulc2 14157 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
4620mul01d 10082 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
4745, 46breqtrd 4599 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
4833rpred 11700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
4919adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 9922 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
5150recnd 9920 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
521, 2, 23, 42, 51clim0c 14028 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
5347, 52mpbid 220 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54 nnz 11228 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
5554adantl 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 uzid 11530 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
57 oveq2 6531 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑗))
5857oveq1d 6538 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
5958fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
6059breq1d 4583 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6160rspcv 3273 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6255, 56, 613syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
63 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
65 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
66 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
67 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
6865, 66, 67syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
69 eluznn 11586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
70 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
7165, 69, 70syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
72 metcl 21884 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7364, 68, 71, 72syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
74 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
75 nnnn0 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7675ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
7776nn0zd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
78 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑘 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑘))
7978oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵𝑚)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
80 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))
81 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 6172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8411ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
855ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
86 eluznn0 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8776, 86sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8885, 87reexpcld 12838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
8984, 88remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
9089recnd 9920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
9111recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
934adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
949adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
95 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))
96 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑘) ∈ V
9778, 95, 96fvmpt 6172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9897adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9993, 94, 76, 98geolim2 14383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))) ⇝ ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵)))
10088recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
10198, 100eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
10298oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
10383, 102eqtr4d 2642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)))
10474, 77, 92, 99, 101, 103isermulc2 14178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))))
1053adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
106105, 77rpexpcld 12845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
107106rpcnd 11702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
10814recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
11018rpne0d 11705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
11292, 107, 109, 111div12d 10682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
113104, 112breqtrd 4599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
11474, 77, 83, 90, 113isumclim 14272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
115 seqex 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ V
116 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
117115, 116breldm 5234 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
118104, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
11974, 77, 83, 89, 118isumrecl 14280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
120114, 119eqeltrrd 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
121120recnd 9920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
122121abscld 13965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
123 fzfid 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
124 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
125 elfzuz 12160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
126 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
127 eluznn 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128126, 127sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129125, 128sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
13063adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
13165ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
132 peano2nn 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
133 ffvelrn 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
13465, 132, 133syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
135 metcl 21884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136130, 131, 134, 135syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137124, 129, 136syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138123, 137fsumrecl 14254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
139 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
140 elfzuz 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
141 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
142141, 128, 131syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
143140, 142sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
14464, 139, 143mettrifi 32522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
145125, 89sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
146123, 145fsumrecl 14254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
147 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
148124, 129, 147syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
149123, 137, 145, 148fsumle 14314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)))
150 fzssuz 12204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗))
152 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
153 nnz 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
154 rpexpcl 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
1553, 153, 154syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
156136, 155rerpdivcld 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
15711adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
158 metge0 21897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159130, 131, 134, 158syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
160136, 155, 159divge0d 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)))
161136, 157, 155ledivmul2d 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘))))
162147, 161mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴)
163152, 156, 157, 160, 162letrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
164141, 128, 163syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
165141, 128, 155syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
166165rpge0d 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐵𝑘))
16784, 88, 164, 166mulge0d 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
16874, 77, 123, 151, 83, 89, 167, 118isumless 14358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
169138, 146, 119, 149, 168letrd 10041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
17073, 138, 119, 144, 169letrd 10041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
171170, 114breqtrd 4599 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
172120leabsd 13943 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17373, 120, 122, 171, 172letrd 10041 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
174173adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17573adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
176122adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
177 rpre 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
178177ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
179 lelttr 9975 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
180175, 176, 178, 179syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
181174, 180mpand 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
182181anassrs 677 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
183182ralrimdva 2947 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18462, 183syld 45 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
185184reximdva 2995 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
186185ralimdva 2940 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18753, 186mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
188 metxmet 21886 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18963, 188syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
190 eqidd 2606 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
191 eqidd 2606 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
1921, 189, 2, 190, 191, 65iscauf 22800 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
193187, 192mpbird 245 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  Vcvv 3168  wss 3535   class class class wbr 4573  cmpt 4633  dom cdm 5024  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  +crp 11660  ...cfz 12148  seqcseq 12614  cexp 12673  abscabs 13764  cli 14005  Σcsu 14206  ∞Metcxmt 19494  Metcme 19495  Caucca 22773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ico 12004  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-cau 22776
This theorem is referenced by:  bfplem1  32590
  Copyright terms: Public domain W3C validator