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Theorem cdlemkid1 35676
Description: Lemma for cdlemkid 35690. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21oveq1i 6615 . 2 (𝑍 (𝑅𝑏)) = (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏))
3 simp1l 1083 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1059 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp3rl 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏𝑇)
6 simp3rr 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 34926 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐴)
14 simp3ll 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐴)
15 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
167, 15, 8hlatjcl 34119 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
173, 14, 13, 16syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵)
18 hllat 34116 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
193, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐾 ∈ Lat)
20 simp22 1093 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑁𝑇)
217, 8atbase 34042 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2214, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑃𝐵)
237, 9, 10ltrncl 34877 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐵) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
244, 20, 22, 23syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐵)
25 simp21 1092 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
269, 10ltrncnv 34898 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
274, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐹𝑇)
289, 10ltrnco 35473 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
294, 5, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑏𝐹) ∈ 𝑇)
307, 9, 10, 11trlcl 34917 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑏𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
314, 29, 30syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵)
327, 15latjcl 16967 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
3319, 24, 31, 32syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵)
34 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3534, 15, 8hlatlej2 34128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
363, 14, 13, 35syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏)))
37 cdlemk5.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
387, 34, 15, 37, 8atmod2i1 34613 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) (𝑃 (𝑅𝑏))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
393, 13, 17, 33, 36, 38syl131anc 1336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
407, 8atbase 34042 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
4113, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)
427, 9, 10, 11trlcl 34917 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
434, 20, 42syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)
447, 15latj32 17013 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
4519, 22, 41, 43, 44syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
46 simp3l 1087 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4734, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 34921 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
484, 20, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)))
4948oveq1d 6620 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)))
507, 15latjass 17011 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5119, 24, 43, 41, 50syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅𝑁)) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
5245, 49, 513eqtrd 2664 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
537, 15latjass 17011 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
5419, 24, 31, 41, 53syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
557, 15latjcom 16975 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
5619, 43, 41, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
579, 10, 11trlcnv 34918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
584, 25, 57syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
59 simp23 1094 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6058, 59eqtrd 2660 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
6160oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝑁)))
6256, 61eqtr4d 2663 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
6315, 9, 10, 11trljco 35494 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
644, 5, 27, 63syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅𝑏) (𝑅𝐹)))
657, 15latjcom 16975 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6619, 41, 31, 65syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑏) (𝑅‘(𝑏𝐹))) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6762, 64, 663eqtr2d 2666 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏)) = ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏)))
6867oveq2d 6621 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))) = ((𝑁𝑃) ((𝑅‘(𝑏𝐹)) (𝑅𝑏))))
6954, 68eqtr4d 2663 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)) = ((𝑁𝑃) ((𝑅𝑁) (𝑅𝑏))))
7052, 69eqtr4d 2663 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁)) = (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏)))
7170oveq2d 6621 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = ((𝑃 (𝑅𝑏)) (((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))) (𝑅𝑏))))
727, 15, 37latabs2 17004 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑁) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7319, 17, 43, 72syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑃 (𝑅𝑏)) (𝑅𝑁))) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
7439, 71, 733eqtr2d 2666 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹)))) (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
752, 74syl5eq 2672 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑍 (𝑅𝑏)) = (𝑃 (𝑅𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081  ccom 5083  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  joincjn 16860  meetcmee 16861  Latclat 16961  Atomscatm 34016  HLchlt 34103  LHypclh 34736  LTrncltrn 34853  trLctrl 34911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-undef 7345  df-map 7805  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  35678
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