Theorem cji 13828

Description: The complex conjugate of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cji	⊢ (∗‘i) = -i

Proof of Theorem cji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rei 13825	. . 3 ⊢ (ℜ‘i) = 0
2		imi 13826	. . . . 5 ⊢ (ℑ‘i) = 1
3	2	oveq2i 6616	. . . 4 ⊢ (i · (ℑ‘i)) = (i · 1)
4		ax-icn 9940	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulid1i 9987	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
6	3, 5	eqtri 2648	. . 3 ⊢ (i · (ℑ‘i)) = i
7	1, 6	oveq12i 6617	. 2 ⊢ ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i))) = (0 − i)
8		remim 13786	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → (∗‘i) = ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i))))
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∗‘i) = ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i)))
10		df-neg 10214	. 2 ⊢ -i = (0 − i)
11	7, 9, 10	3eqtr4i 2658	1 ⊢ (∗‘i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881  1c1 9882  ici 9883   · cmul 9886   − cmin 10211  -cneg 10212  ∗ccj 13765  ℜcre 13766  ℑcim 13767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770

This theorem is referenced by:  cjreim  13829  absi  13955  resinval  14785  recosval  14786  cphassir  22918  cosargd  24253  1cubrlem  24463  atancj  24532  ipasslem10  27534  polid2i  27854  lnophmlem2  28716