Theorem cji 14094

Description: The complex conjugate of the imaginary unit. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cji	⊢ (∗‘i) = -i

Proof of Theorem cji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rei 14091	. . 3 ⊢ (ℜ‘i) = 0
2		imi 14092	. . . . 5 ⊢ (ℑ‘i) = 1
3	2	oveq2i 6820	. . . 4 ⊢ (i · (ℑ‘i)) = (i · 1)
4		ax-icn 10183	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulid1i 10230	. . . 4 ⊢ (i · 1) = i
6	3, 5	eqtri 2778	. . 3 ⊢ (i · (ℑ‘i)) = i
7	1, 6	oveq12i 6821	. 2 ⊢ ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i))) = (0 − i)
8		remim 14052	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ → (∗‘i) = ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i))))
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∗‘i) = ((ℜ‘i) − (i · (ℑ‘i)))
10		df-neg 10457	. 2 ⊢ -i = (0 − i)
11	7, 9, 10	3eqtr4i 2788	1 ⊢ (∗‘i) = -i

Syntax hints:   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  ℂcc 10122  0cc0 10124  1c1 10125  ici 10126   · cmul 10129   − cmin 10454  -cneg 10455  ∗ccj 14031  ℜcre 14032  ℑcim 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-2 11267  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036

This theorem is referenced by:  cjreim  14095  absi  14221  resinval  15060  recosval  15061  cphassir  23211  cosargd  24549  1cubrlem  24763  atancj  24832  ipasslem10  27999  polid2i  28319  lnophmlem2  29181