HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmlem2 28094
Description: Lemma for lnophmi 28095. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28046 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6251 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
74ffvelrni 6251 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
91, 6, 2, 8polid2i 27232 . . . . 5 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4)
101, 2hvcomi 27094 . . . . . . . . 9 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
118, 6hvcomi 27094 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
123lnopaddi 28048 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
132, 1, 12mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1411, 13eqtr4i 2634 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))
1510, 14oveq12i 6539 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 27179 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
173lnopsubi 28051 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
182, 1, 17mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1918oveq2i 6538 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
2016, 19eqtr4i 2634 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))
2115, 20oveq12i 6539 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))))
22 ax-icn 9852 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2322, 1hvmulcli 27089 . . . . . . . . . . . 12 (i · 𝐵) ∈ ℋ
242, 23hvsubcli 27096 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
254ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ
2722, 22, 24, 26his35i 27164 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 27127 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵)))
2922, 2hvmulcli 27089 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 𝐴) ∈ ℋ
3022, 23hvmulcli 27089 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) ∈ ℋ
3129, 30hvsubvali 27095 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵))))
3222, 22, 1hvmulassi 27121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵))
3332oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = (-1 · (i · (i · 𝐵)))
34 ixi 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · i) = -1
3534oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3736, 36mul2negi 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · -1) = (1 · 1)
38 1t1e1 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 · (i · i)) = 1
4039oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
41 neg1cn 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
4222, 22mulcli 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) ∈ ℂ
4341, 42, 1hvmulassi 27121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (-1 · ((i · i) · 𝐵))
44 ax-hvmulid 27081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝐵) = 𝐵
4640, 43, 453eqtr3i 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = 𝐵
4733, 46eqtr3i 2633 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (i · (i · 𝐵))) = 𝐵
4847oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵)))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
4931, 48eqtri 2631 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
5029, 1hvcomi 27094 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5128, 49, 503eqtri 2635 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5251fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴)))
533lnopmuli 28049 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
5422, 24, 53mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
553lnopaddmuli 28050 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5752, 54, 563eqtr3i 2639 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5851, 57oveq12i 6539 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
59 cji 13696 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘i) = -i
6059oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6122, 22mulneg2i 10329 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
6234negeqi 10126 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i · i) = --1
63 negneg1e1 10978 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2635 . . . . . . . . . . . 12 (i · (∗‘i)) = 1
6665oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 28093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
6968recni 9909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
7069mulid2i 9900 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7166, 70eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7227, 58, 713eqtr3i 2639 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7322, 6hvmulcli 27089 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
741, 29, 8, 73hisubcomi 27179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
7534oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 𝐵) = (-1 · 𝐵)
7632, 75eqtr3i 2633 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
7776oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
7822, 2, 23hvdistr1i 27126 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵)))
7929, 1hvsubvali 27095 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − 𝐵) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
8077, 78, 793eqtr4i 2641 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − 𝐵)
8180fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵))
822, 23hvaddcli 27093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
833lnopmuli 28049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
8422, 82, 83mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
853lnopmulsubi 28053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8781, 84, 863eqtr3i 2639 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8880, 87oveq12i 6539 . . . . . . . . . . 11 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8974, 88eqtr4i 2634 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
904ffvelrni 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ
9222, 22, 82, 91his35i 27164 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9365oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 28093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
9594recni 9909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
9695mulid2i 9900 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9793, 96eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9889, 92, 973eqtri 2635 . . . . . . . . 9 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9972, 98oveq12i 6539 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))) = (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
10099oveq2i 6538 . . . . . . 7 (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))))) = (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
10121, 100oveq12i 6539 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
102101oveq1i 6537 . . . . 5 (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2631 . . . 4 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
104103fveq2i 6091 . . 3 (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4))
105 4ne0 10967 . . . 4 4 ≠ 0
1062, 1hvaddcli 27093 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 28093 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
1082, 1hvsubcli 27096 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 28093 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) ∈ ℝ
110107, 109resubcli 10195 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ
111110recni 9909 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℂ
11268, 94resubcli 10195 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
113112recni 9909 . . . . . . 7 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
11422, 113mulcli 9902 . . . . . 6 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
115111, 114addcli 9901 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) ∈ ℂ
116 4re 10947 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
117116recni 9909 . . . . 5 4 ∈ ℂ
118115, 117cjdivi 13728 . . . 4 (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120 cjreim 13697 . . . . . . 7 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))))
121110, 112, 120mp2an 703 . . . . . 6 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 28093 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
12368, 122resubcli 10195 . . . . . . . . 9 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
124123recni 9909 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
12522, 124mulcli 9902 . . . . . . 7 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
126111, 125negsubi 10211 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
127121, 126eqtr4i 2634 . . . . 5 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12822, 113mulneg2i 10329 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
12969, 95negsubdi2i 10219 . . . . . . . 8 -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
130129oveq2i 6538 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
131128, 130eqtr3i 2633 . . . . . 6 -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
132131oveq2i 6538 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))))
13313oveq2i 6538 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134133, 19oveq12i 6539 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1353lnopaddmuli 28050 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1415 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
137136oveq2i 6538 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1383lnopsubmuli 28052 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1415 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
140139oveq2i 6538 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
141137, 140oveq12i 6539 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))
142141oveq2i 6538 . . . . . 6 (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))
143134, 142oveq12i 6539 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2635 . . . 4 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
145 cjre 13676 . . . . 5 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (∗‘4) = 4
147144, 146oveq12i 6539 . . 3 ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2636 . 2 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
1492, 8, 1, 6polid2i 27232 . 2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
1506, 1his1i 27175 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2641 1 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  4c4 10922  ccj 13633  chil 26994   + cva 26995   · csm 26996   ·ih csp 26997   cmv 27000  LinOpclo 27022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-hilex 27074  ax-hfvadd 27075  ax-hvcom 27076  ax-hvass 27077  ax-hv0cl 27078  ax-hvaddid 27079  ax-hfvmul 27080  ax-hvmulid 27081  ax-hvmulass 27082  ax-hvdistr1 27083  ax-hvdistr2 27084  ax-hvmul0 27085  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-hvsub 27046  df-lnop 27918
This theorem is referenced by:  lnophmi  28095
  Copyright terms: Public domain W3C validator