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Theorem lnophmlem2 29004
Description: Lemma for lnophmi 29005. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28956 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
74ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
91, 6, 2, 8polid2i 28142 . . . . 5 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4)
101, 2hvcomi 28004 . . . . . . . . 9 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
118, 6hvcomi 28004 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
123lnopaddi 28958 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
132, 1, 12mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1411, 13eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))
1510, 14oveq12i 6702 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 28089 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
173lnopsubi 28961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
182, 1, 17mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1918oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
2016, 19eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))
2115, 20oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))))
22 ax-icn 10033 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2322, 1hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . . 12 (i · 𝐵) ∈ ℋ
242, 23hvsubcli 28006 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
254ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ
2722, 22, 24, 26his35i 28074 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 28037 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵)))
2922, 2hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 𝐴) ∈ ℋ
3022, 23hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) ∈ ℋ
3129, 30hvsubvali 28005 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵))))
3222, 22, 1hvmulassi 28031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵))
3332oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = (-1 · (i · (i · 𝐵)))
34 ixi 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · i) = -1
3534oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3736, 36mul2negi 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · -1) = (1 · 1)
38 1t1e1 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 · (i · i)) = 1
4039oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
41 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
4222, 22mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) ∈ ℂ
4341, 42, 1hvmulassi 28031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (-1 · ((i · i) · 𝐵))
44 ax-hvmulid 27991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝐵) = 𝐵
4640, 43, 453eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = 𝐵
4733, 46eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (i · (i · 𝐵))) = 𝐵
4847oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵)))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
4931, 48eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
5029, 1hvcomi 28004 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5128, 49, 503eqtri 2677 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5251fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴)))
533lnopmuli 28959 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
5422, 24, 53mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
553lnopaddmuli 28960 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5752, 54, 563eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5851, 57oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
59 cji 13943 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘i) = -i
6059oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6122, 22mulneg2i 10515 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
6234negeqi 10312 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i · i) = --1
63 negneg1e1 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2677 . . . . . . . . . . . 12 (i · (∗‘i)) = 1
6665oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 29003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
6968recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
7069mulid2i 10081 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7166, 70eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7227, 58, 713eqtr3i 2681 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7322, 6hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
741, 29, 8, 73hisubcomi 28089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
7534oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 𝐵) = (-1 · 𝐵)
7632, 75eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
7776oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
7822, 2, 23hvdistr1i 28036 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵)))
7929, 1hvsubvali 28005 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − 𝐵) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
8077, 78, 793eqtr4i 2683 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − 𝐵)
8180fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵))
822, 23hvaddcli 28003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
833lnopmuli 28959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
8422, 82, 83mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
853lnopmulsubi 28963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8781, 84, 863eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8880, 87oveq12i 6702 . . . . . . . . . . 11 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8974, 88eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
904ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ
9222, 22, 82, 91his35i 28074 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9365oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 29003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
9594recni 10090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
9695mulid2i 10081 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9793, 96eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9889, 92, 973eqtri 2677 . . . . . . . . 9 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9972, 98oveq12i 6702 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))) = (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
10099oveq2i 6701 . . . . . . 7 (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))))) = (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
10121, 100oveq12i 6702 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
102101oveq1i 6700 . . . . 5 (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2673 . . . 4 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
104103fveq2i 6232 . . 3 (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4))
105 4ne0 11155 . . . 4 4 ≠ 0
1062, 1hvaddcli 28003 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 29003 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
1082, 1hvsubcli 28006 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 29003 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) ∈ ℝ
110107, 109resubcli 10381 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ
111110recni 10090 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℂ
11268, 94resubcli 10381 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
113112recni 10090 . . . . . . 7 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
11422, 113mulcli 10083 . . . . . 6 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
115111, 114addcli 10082 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) ∈ ℂ
116 4re 11135 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
117116recni 10090 . . . . 5 4 ∈ ℂ
118115, 117cjdivi 13975 . . . 4 (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120 cjreim 13944 . . . . . . 7 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))))
121110, 112, 120mp2an 708 . . . . . 6 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 29003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
12368, 122resubcli 10381 . . . . . . . . 9 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
124123recni 10090 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
12522, 124mulcli 10083 . . . . . . 7 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
126111, 125negsubi 10397 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
127121, 126eqtr4i 2676 . . . . 5 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12822, 113mulneg2i 10515 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
12969, 95negsubdi2i 10405 . . . . . . . 8 -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
130129oveq2i 6701 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
131128, 130eqtr3i 2675 . . . . . 6 -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
132131oveq2i 6701 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))))
13313oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134133, 19oveq12i 6702 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1353lnopaddmuli 28960 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
137136oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1383lnopsubmuli 28962 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
140139oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
141137, 140oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))
142141oveq2i 6701 . . . . . 6 (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))
143134, 142oveq12i 6702 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2677 . . . 4 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
145 cjre 13923 . . . . 5 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (∗‘4) = 4
147144, 146oveq12i 6702 . . 3 ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2678 . 2 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
1492, 8, 1, 6polid2i 28142 . 2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
1506, 1his1i 28085 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2683 1 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  4c4 11110  ccj 13880  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907   cmv 27910  LinOpclo 27932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956  df-lnop 28828
This theorem is referenced by:  lnophmi  29005
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