MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlk2 26771
Description: A closed walk corresponds to a closed walk as word in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlk2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlk2
StepHypRef Expression
1 lswccats1fst 13350 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
213adant1 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0))
32biantrurd 529 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
5 wrdsymb1 13281 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
6 wrdlenccats1lenm1 13338 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1))
87eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1) = (#‘𝑃))
98opeq2d 4377 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩ = ⟨0, (#‘𝑃)⟩)
109oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩))
115s1cld 13322 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
12 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) = (#‘𝑃))
13 swrdccatid 13434 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
144, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, (#‘𝑃)⟩) = 𝑃)
1510, 14eqtr2d 2656 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
16153adant1 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩))
1716eleq1d 2683 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
18 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ USPGraph )
19 simp2 1060 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
20113adant1 1077 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
21 ccatcl 13298 . . . 4 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
2219, 20, 21syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
23 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
24 1e2m1 11080 . . . . . . . . . . 11 1 = (2 − 1)
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
2625breq1d 4623 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ (2 − 1) ≤ (#‘𝑃)))
27 2re 11034 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
29 1red 9999 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
30 nn0re 11245 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
3128, 29, 30lesubaddd 10568 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3226, 31bitrd 268 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3323, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (1 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1)))
3433biimpa 501 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + 1))
35 s1len 13324 . . . . . . 7 (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩) = 1
3635oveq2i 6615 . . . . . 6 ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + 1)
3734, 36syl6breqr 4655 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
38373adant1 1077 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
394, 11jca 554 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
40393adant1 1077 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
41 ccatlen 13299 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑃‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4240, 41syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((#‘𝑃) + (#‘⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
4338, 42breqtrrd 4641 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)))
44 clwlkclwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
45 clwlkclwwlk.e . . . 4 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4644, 45clwlkclwwlk 26770 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩))) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
4718, 22, 43, 46syl3anc 1323 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ (( lastS ‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) = ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)‘0) ∧ ((𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) substr ⟨0, ((#‘(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩)) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
483, 17, 473bitr4rd 301 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)(𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ↔ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  cop 4154   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  2c2 11014  0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775   USPGraph cuspgr 25936  ClWalkscclwlks 26535  ClWWalkscclwwlks 26742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-upgr 25873  df-uspgr 25938  df-wlks 26365  df-clwlks 26536  df-clwwlks 26744
This theorem is referenced by:  clwlksfoclwwlk  26829
  Copyright terms: Public domain W3C validator